Um material radioativo, como o isótopo tório–234, desintegra a uma taxa proporcional a quantidade presente. Se é a quantidade presente no instante , então , em que é a taxa decaimento.
a) Se de tório–234 decaem a em semana, determine a taxa de decaimento .
b) Encontre uma expressão para a quantidade de tório–234 presente em qualquer instante .
c) Encontre o tempo necessário para que o tório–234 decaia à metade da quantidade original.
Passo 1
Fala aí galerinha! Essa questão é meio longa, mas eu juro que não é um bicho de 7 cabeças.
A gente ta trantando do decaimento de um material radioativo, o tório-234. E a gente tem uma equação que modela esse processo. Ela nos diz como a quantidade do material varia com o tempo:
Na letra (a), a gente tem que calcular a taxa de decaimento . E pra isso recebemos a informação de em 1 semana, desse material decaem pra . Mas não vai ser só substituir porque temos uma equação diferencial. Então um jeito de resolver essa questão é resolvendo essa EDO.
Um jeito bem comum de resolver EDO’s é pelo Método da Separação de Variáveis. Não é sempre que ele funciona, mas aqui você vai ver que dá. Basicamente, se a gente pode jogar tudo que é função de uma variável pra um lado e o que é função da outro pro outro, OU SEJA, SEPARAR AS VARIÁVEIS, então dá certo.
E aí resolvendo a EDO a gente consegue achar todo o resto, então vamos com calma.
Passo 2
A EDOzinha que o problema nos dá é essa aqui:
Vamos jogar tudo que tem pra um lado e o restante pro outro:
Olha só que coisa, a gente separou as variáveis! Então agora podemos integrar dos dois lados:
Aqui, é a nossa constante de integração.
Aplicando a exponencial dos dois lados, vamos ter:
Pelas propriedades da exponencial:
Mas e termo vai ficar ai mesmo enfeiando a equação????
Percebe só que se a gente fizer , vamos ter:
Ou seja, esse termo é a quantidade de tório–234 no instante inicial, então pra ficar mais bonito, vamos chamar de . E a expressão pra vai ficar assim:
Pessoal, acabou que pra resolver a letra (a), a gente encontrou o resultado da letra (b), que é a expressão pra quantidade de tório–234 a qualquer instante .
Passo 3
Vamos então voltar pra letra (a). Queremos saber o valor de , na situação em que de tório–234 decaem a em semana.
Então vamos jogar na nossa fórmula:
Hora das manipulações matemáticas:
Aplicando dos dois lados:
E finalmente temos o nosso resultado:
Passo 4
A letra (c) não é tão diferente. A quente quer saber o tempo pra que o tório-234 decaia a metade da quantidade inicial. Então se a quantidade incial é , a gente quer que:
Colocando isso na fórmula:
Simplificando:
Mas a gente já encontrou p valor de lá no passo 3, então é só substituir e calcular:
Muito cuidado com essas unidades pra você não se confundir! Como a gente calculou como um decaimento por semana, agora a gente vai encontrar o tempo em semanas.
Ufa, terminamos!