Um material radioativo, como o isótopo tório–234, desintegra a uma taxa proporcional a quantidade presente. Se Q(t) é a quantidade presente no instante t , então dQ/dt = -rQ , em que r > 0 é a taxa decaimento.

a) Se 100 mg de tório–234 decaem a 82,04 mg em 1 semana, determine a taxa de decaimento r .

b) Encontre uma expressão para a quantidade de tório–234 presente em qualquer instante t .

c) Encontre o tempo necessário para que o tório–234 decaia à metade da quantidade original.

Passo 1

Fala aí galerinha! Essa questão é meio longa, mas eu juro que não é um bicho de 7 cabeças.

A gente ta trantando do decaimento de um material radioativo, o tório-234. E a gente tem uma equação que modela esse processo. Ela nos diz como a quantidade do material varia com o tempo:

d Q d t =   - r Q

Na letra (a), a gente tem que calcular a taxa de decaimento r . E pra isso recebemos a informação de em 1 semana, 100 m g desse material decaem pra 82,04 m g . Mas não vai ser só substituir porque temos uma equação diferencial. Então um jeito de resolver essa questão é resolvendo essa EDO.

Um jeito bem comum de resolver EDO’s é pelo Método da Separação de Variáveis. Não é sempre que ele funciona, mas aqui você vai ver que dá. Basicamente, se a gente pode jogar tudo que é função de uma variável pra um lado e o que é função da outro pro outro, OU SEJA, SEPARAR AS VARIÁVEIS, então dá certo.

E aí resolvendo a EDO a gente consegue achar todo o resto, então vamos com calma.

Passo 2

A EDOzinha que o problema nos dá é essa aqui:

d Q d t =   - r Q

Vamos jogar tudo que tem Q pra um lado e o restante pro outro:

d Q Q = - r d t

Olha só que coisa, a gente separou as variáveis! Então agora podemos integrar dos dois lados:

∫ d Q Q =   - ∫ r d t  

ln ⁡ Q =   - r t + C

Aqui, C é a nossa constante de integração.

Aplicando a exponencial dos dois lados, vamos ter:

e ln ⁡ Q = e - r t + C

Q = e - r t + C

Pelas propriedades da exponencial:

Q = e C e - r t

Mas e termo e C vai ficar ai mesmo enfeiando a equação????

Percebe só que se a gente fizer t = 0 , vamos ter:

Q = e C e 0 = e C

Ou seja, esse termo é a quantidade de tório–234 no instante inicial, então pra ficar mais bonito, vamos chamar de Q 0 . E a expressão pra Q vai ficar assim:

Q t = Q 0 e - r t

Pessoal, acabou que pra resolver a letra (a), a gente encontrou o resultado da letra (b), que é a expressão pra quantidade de tório–234 a qualquer instante t .

Passo 3

Vamos então voltar pra letra (a). Queremos saber o valor de r , na situação em que 100   m g de tório–234 decaem a 82,04   m g em 1 semana.

Q 0 = 100   m g

Q t = 82 ,   04   m g

t = 1 �� s e m a n a

Então vamos jogar na nossa fórmula:

Q t = Q 0 e - r t

82,04 = 100 e - 1 r

Hora das manipulações matemáticas:

e - r = 82,04 100

e - r = 0,8204

Aplicando l n dos dois lados:

- r = ln ⁡ 0,8204

r = - ln ⁡ 0,8204

E finalmente temos o nosso resultado:

r = 0,198   s e m a n a - 1

Passo 4

A letra (c) não é tão diferente. A quente quer saber o tempo pra que o tório-234 decaia a metade da quantidade inicial. Então se a quantidade incial é Q 0 , a gente quer que:

Q t = Q 0 2

Colocando isso na fórmula:

Q t = Q 0 e - r t

Q 0 2 = Q 0 e - r t

Simplificando:

e - r t = 1 2

- r t = ln ⁡ 1 2

t = - 1 r ln ⁡ 1 2

Mas a gente já encontrou p valor de r lá no passo 3, então é só substituir e calcular:

t = - 1 0,198 ln ⁡ 1 2

t = 3,5   s e m a n a s

Muito cuidado com essas unidades pra você não se confundir! Como a gente calculou r como um decaimento por semana, agora a gente vai encontrar o tempo em semanas.

Ufa, terminamos!

Resposta

r = 0,198   s e m a n a - 1

Q t = Q 0 e - r t

t = 3,5   s e m a n a s

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