Enunciado

De acordo com a lei de resfriamento (veja o problema 23 da secão 1.1), a temperatura u(t) de um objeto satisfaz a equação diferencial.

d u d t =   - k ( u - T )

Em que T é a temperatura ambiente constante e k uma constante positiva. Suponha que a temperatura inicial do objeto é u ( 0 )   =   u 0

a) Encontre a temperatura do objeto em qualquer instante.

b) Seja τ o instante no qual a diferença de temperatura u 0 - T foi reduzida pela metade. Encontre a relação entre k e τ

Passo 1

a) como nos foi dada a edo que representa o processo, vamos trabalhar em cima dela.

d u d t =   - k ( u - T ) ⟹ d u u - T = - k d t

∫ d u u - T =   - ∫ k d t   ⟹ ln ⁡ u - T =   - k t + C ,   o n d e   C = ln ⁡ u 0 - T

l n u - T u 0 - T = - k t   ⟹ u = T + u 0 - T e - k t

Passo 2

b)

l n u 0 - T 2 u 0 - T = - k t

k τ = l n 2

Resposta

u = T + u 0 - T e - k t

k τ = l n 2

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