Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.3 - Ex. 19
A equação diferencial:
Em que , ocorre no estudo da óptica. A equação descreve o tipo de curva plana que refletirá todo raio de luz incidente para o mesmo ponto (veja problema 15, exercícios 1.2). Mostre que a curva é uma parábola. (Sugestão: use a substituição e reexamine a seção 2.6.)
Passo 1
Então galera, a equação que nos foi dada é a seguinte:
O enunciado nos diz para fazer a substituição , certo? Disso tiramos que:
Substituindo, teremos:
Que é uma equação de Clairaut, conforme estudamos na seção 2.6.
Passo 2
Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;
Que é exatamente o formato que temos! Vamos fazer uma substituição do tipo , ok? Fazendo isso, teremos:
Derivando isso, teremos:
Logo:
Show!
Passo 3
Para o produto que encontramos temos duas possibilidades:
Ou:
Da primeira tiramos que:
E então, substituindo na nossa solução, teremos:
Como , nossa resposta final será:
E está aí, galera!