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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 18

Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição.

y ' ' = x - y '

Passo 1

Opa! Tudo joia?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

y ' ' = x - y '

Vamos reduzir a ordem dela, fazendo u = y ' . Assim teremos u ' = y ' ' .

Nossa EDO então fica:

u ' + u = x

Essa é uma EDO linear. Vamos resolver!

Passo 2

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 1

q x = x

Substituindo, ficamos com:

u = e - ∫ 1   d x ∫ e ∫ 1   d x ⋅ x   d x

u = e - x ∫ e x x   d x

u = e - x [ x e x - e x + C ]

u = x - 1 + C e - x

Passo 3

Como u = y ' , temos:

y ' = x - 1 + C e - x

Então temos:

y = ∫ x - 1 + C e - x   d x

y = 1 2 x 2 - x - c 1 e - x + c 2

E agora terminamos! 😉

Resposta

y = 1 2 x 2 - x - c 1 e - x + c 2

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