Uma escada de 1,7   m está apoiada em uma parede. Se sua base for puxada ao longo do chão, afastando-se da parede a uma taxa constante de 0,5   m / s , com que rapidez o topo da escada estará se movendo para baixo na parede quando estiver 0,8   m acima do solo?

Passo 1

Vamos analisar com calma o que está acontecendo:

A base da escada será puxada, de forma que o topo dela escorregue pela parede. Chamando de x a distância da parede até a base da escada e de y a distância do chão até o topo da escada, podemos pelo Teorema de Pitágoras que:

x 2 + y 2 = 1,7 2

Passo 2

Pra relacionarmos as taxas com que x e y variam quando a escada é puxada podemos derivar essa expressão em relação ao tempo, fica assim ó:

d d t x 2 + y 2 = d d t 1,7 2

d x 2 d t   + d y 2 d t = d 1,7 2 d t

Mas derivada de constante é zero, lembra? Então continuando masss sem esquecer a Regra da Cadeia:

d x 2 d x d x d t   + d y 2 d y d y d t   = 0

2 x   d x d t   + 2 y     d y d t   = 0

Maneiroooo, achamos uma relação entre as taxas de variação de x e y .

Passo 3

Para gente descobrir a rapidez com que o topo da escada desce, basta descobrirmos o d y / d t   naquele instante. Mas o que significam aqueles dados que o enunciado nos dá?

A base sendo puxada a uma taxa constante de 0,5   m / s   nos diz que:

d x d t = 0,5   m / s  

E além disso o topo da escada a 0,8   m acima do solo nos diz que y = 0,8   m .

Só que ainda precisaríamos descobrir o x nesse instante. Pra isso podemos usar o Teorema de Pitágoras com y = 0,8   m :

x 2 + y 2 = 1,7 2

x 2 + 0,8 2 = 1,7 2

x 2 = 2,25         ⇒             x = 1,5 m

Passo 4

Showww, aí so precisamos substituir todos esses dados na expressão que encontramos ali em cima, ficamos com:

2 x   d x d t   + 2 y     d y d t   = 0

2 ( 1,5 )   ( 0,5 )   + 2 ( 0,8 )     d y d t   = 0

1,5 = - 1,6     d y d t  

d y d t =   - 1,5 1,6   =   - 15 16   m / s

Então como tínhamos combinado, a rapidez com que o topo da escada desce a parade é justamente o d y / d t . Então encontramos nossa resposta 😊

PS: Perceba que encontramos um d y d t < 0 , o que faz bastante sentido, porque se a escada está descendo, y está diminuindo.

Resposta

- 15 16   m / s

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