Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 16
Uma escada de está apoiada em uma parede. Se sua base for puxada ao longo do chão, afastando-se da parede a uma taxa constante de , com que rapidez o topo da escada estará se movendo para baixo na parede quando estiver acima do solo?
Passo 1
Vamos analisar com calma o que está acontecendo:
A base da escada será puxada, de forma que o topo dela escorregue pela parede. Chamando de a distância da parede até a base da escada e de a distância do chão até o topo da escada, podemos pelo Teorema de Pitágoras que:
Passo 2
Pra relacionarmos as taxas com que e variam quando a escada é puxada podemos derivar essa expressão em relação ao tempo, fica assim ó:
Mas derivada de constante é zero, lembra? Então continuando masss sem esquecer a Regra da Cadeia:
Maneiroooo, achamos uma relação entre as taxas de variação de e .
Passo 3
Para gente descobrir a rapidez com que o topo da escada desce, basta descobrirmos o naquele instante. Mas o que significam aqueles dados que o enunciado nos dá?
A base sendo puxada a uma taxa constante de nos diz que:
E além disso o topo da escada a acima do solo nos diz que .
Só que ainda precisaríamos descobrir o nesse instante. Pra isso podemos usar o Teorema de Pitágoras com :
Passo 4
Showww, aí so precisamos substituir todos esses dados na expressão que encontramos ali em cima, ficamos com:
Então como tínhamos combinado, a rapidez com que o topo da escada desce a parade é justamente o . Então encontramos nossa resposta 😊
PS: Perceba que encontramos um , o que faz bastante sentido, porque se a escada está descendo, está diminuindo.