Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 8

A equação de Liénard (Problema 30 da Seção 9.3) é

Em que satisfaz as condições do Problema 6 e . Mostre que o ponto , é um ponto crítico estável.

Passo 1

Como satisfaz as condições do Problema 6, então, teremos:

Para . E também:

Para . Ainda do Problema 6, temos:

Então podemos escrever:

E, da seguinte condição:

Ainda temos:

Então o ponto é um ponto crítico.

Passo 2

Agora precisamos determinar a natureza do ponto crítico. Para isso vamos tomar uma equação de Liapunov na forma:

E, com isso, teremos que e será definida positiva em uma vizinhança próxima a origem. Agora, podemos escrever a taxa de variação de como:

No nosso caso temos:

Passo 3

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para , temos:

Então, nós teremos , dessa forma, será semi-definida negativa, então a origem será um ponto crítico estável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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