Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 6
Uma generalização da equação do pêndulo não amortecido é:
Em que para e para , ou seja, para , . Note que tem essa propriedade em .
(a) Fazendo , , escreva a Eq. (i) como um sistema de duas equações e mostre que é um ponto crítico.
(b) Mostre que
É positiva definida e use esse resultado para mostrar que o ponto crítico (0,0) é estável. Note que a função de Liapunov dada pela Eq. (ii) corresponde à função energia para o caso em que .
Passo 1
Tá legal! Para a letra (a), conforme vimos no enunciado, temos:
E, dessa forma, derivando a expressão de cima, podemos escrever que:
Então, se tivermos o ponto e , então, temos que:
Dessa forma, a origem é um ponto crítico.
Passo 2
Agora, para a letra (b), nós temos que:
E, também que:
Dessa forma, podemos escrever como:
Passo 3
E, substituindo os valores conhecidos na equação obtida no passo 2, temos:
Dessa forma então, temos que é semi-definida negativa e pelo teorema 9.6.1 a origem é um ponto crítico estável.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)