Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 51
Uma equação linear de segunda ordem é dita autoadjunta se sua adjunta for igual à equação original. Mostre que uma condição necessária para esta equação ser autoadjunta é que . Determine se cada uma das equações nos Problemas de 47 a 49 é autoadjunta.
Passo 1
Para resolvermos, vamos calcular uma vez a equação adjunta e depois aplicar a condição apontada no enunciado, na que . No final, vamos comparar a adjunta e nossa original para verificarmos se são as mesmas.
Passo 2
Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos calcular a adjunta da nossa original. Utilizando o resultado do exercício 46, temos que a equação adjunta é dada por:
Assim, identificando os termos da nossa equação original, teremos que
que nos dá nossa adjunta. Comparando com a original, temos que para ambas as equações serem iguais precisamos satisfazer essas duas condições:
Se resolvermos nossa primeira equação, vamos chegar exatamente no que o enunciado nos diz.
Se isso for verdade, teremos por consequência que
e assim ambas as condições são satisfeitas, provando que o único jeito de ser autoadjunta é se
Passo 3
Vamos analisar cada equação. Temos que a primeira é dada por:
Onde , assim essa equação não é autoadjunta. Para nossa segunda equação, temos:
Onde , sendo essa nossa primeira equação autoadjunta. Nossa terceira e ultima equação é a seguinte.
Nessa temos que . Ou seja, não é autoadjunta.