Se y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial t ⋅ y ' ' + 2 ⋅ y ' + t ⋅ e t ⋅ y = 0 e se W y 1 ,y 2 1 = 2 , encontre o valor de W y 1 ,y 2 5 .

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 34

Se e formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial e se , encontre o valor de .

Passo 1

Para resolvermos, vamos analisar e rearranjar a equação, quando necessário na forma

onde poderemos utilizar a forma do wronskiano em que aparece a integral, escrito da seguinte forma

Após isso iremos aplicar no próprio wronskiano, os valores de para encontrarmos a constante e o valor para o pedido.

Passo 2

Aplicando o método mostrado no passo 1, temos que não será necessário nem reorganizar nossa EDO, conseguimos identificar perfeitamente nosso . Substituindo no wronskiano, temos então que:

Como temos o valor do wronskiano para , podemos encontrar qual o valor da constante. Temos então que:

Assim, nossa equação nos dá que

Agora para , temos que nosso wronskiano nos dará

Resposta

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Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0

Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. t 2 y ' ' - t t + 2 y ' + t + 2 y = 0

Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. cos ⁡ t ⋅ y ' ' + sin ⁡ t ⋅ y ' - t ⋅ y = 0

Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a x 2 y ' ' + x y ' - y = 0 , x0

A Equação Adjunta. Se uma equação linear homogênea de segunda ordem não for exata, ela pode se tornar exata multiplicando-se por um fator integrante apropriado μ x . Precisamos, então, que μ x seja ta