Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y'' - 2y' + y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

x 2 - 2 x + 1 = 0

Sendo: a = 1 ,   b = - 2 ,   c = 1 .

Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos 2 raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos 2 raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos 2 raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   x   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - ( - 2 ) ± - 2 2 - 4 . 1.2 2 . 1

x = 2 ± 4 - 4 2

x = 2 ± 0 2

x = 2 ± 0 2

x ' = 2 + 0 2 = 1 ,     x ' ' = 2 - 0 2 = 1

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 x + C 2 t e r 2 x

Substituindo os valores das raízes:

y = C 1 e 1 x + C 2 t e 1 x

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e t + C 2 t e t

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