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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.7 - Ex. 5

Após 1 ano de uso, a taxa de depreciação de um automóvel em qualquer instante é proporcional a seu valor naquele instante. Se o automóvel foi comprado em 1º de junho de 1988 e seus valores em 1º de junho de 1989 e 1990 eram, respectivamente, $ 7.000 e $ 5.800, qual o valor esperado do carro em 1º de junho de 1994?

Passo 1

Sendo y o valor do automóvel, a taxa de decrescimento de y é proporcional a y . Temos então a equação diferencial:

d y d t = - k y

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para y 0 = 7000 e y 1 = 5800 , sendo t o número de anos decorridos desde 1º de junho de 1989.

Passo 2

Separando as variáveis, temos:

d y y = - k d t

Integrando os dois lados:

∫ d y y = ∫ - k d t ⇒ ln ⁡ | y | = - k t + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

y = e - k t + C ⇒ y = A e - k t

Sendo A = ± e C uma constante.

Passo 3

Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de A e k . De y 0 = 7000 , temos:

A e 0 = 7000 ⇒ A = 7000 ⇒ y = 7000 e - k t

Agora, de y 1 = 5800 , obtemos:

7000 e - k = 5800 ⇒ e - k = 5800 7000 ≈ 0,8286

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - k = ln ⁡ 0,8286 ⇒ - k = ln ⁡ 0,8286 ⇒ k ≈ 0,188

Passo 4

Agora temos a função completa:

y t = 7000 e - 0,188 t

No ano de 1994, terão se passado t = 1994 - 1989 = 5 anos desde 1989. Queremos então y ( 5 ) :

y 5 = 7000 e - 0,188 ⋅ 5 = 7000 e - 0,94 = 7000 ⋅ 0,3906 = 2734

Resposta

O   v a l o r   e s p e r a d o   é   d e   $   2734 .

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