Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 73
A equação representa uma “elipse girada”, isto é, uma elipse cujos eixos não são paralelos aos eixos coordenados. Encontre os pontos os quais essa elipse cruza o eixo e mostre que as retas tangentes nesses pontos são paralelas.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos onde a elipse da equação apresentada cruza o eixo e mostrar que nesses pontos as retas tangentes são paralelas.
Então, para encontrar os pontos onde a elipse cruza o eixo , devemos igualar e resolver a equação para . Assim, vamos derivar a nossa equação implicitamente e substituir os pontos encontrados para encontrar o coeficiente angular da reta .
Se esses coeficientes forem iguais, as retas terão a mesma inclinação e serão paralelas.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos onde a elipse cruza o eixo , fazendo e resolvendo a equação para :
Assim, sabemos que a elipse cruza o eixo em
Passo 3
Agora iremos encontrar a inclinação da reta tangente à elipse. Para isso, iremos utilizar a derivação implícita para encontrar na equação da elipse:
Isolando , temos:
Substituindo no ponto , temos:
E substituindo no ponto , temos:
Assim, como em ambos os pontos a inclinação é a mesma nesse ponto as retas tangentes são paralelas.
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉