Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

x^(2/3) + y^(2/3) = 4 , (-3 * raiz(3), 1) (astroide)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por:

x 2 / 3 + y 2 / 3 = 4

No ponto ( - 3 3 , 1 ) .

Assim, para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação.

Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta) e x 0 , y 0 , os pontos dados.

Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência.

Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

d d x x 2 3 + y 2 3   = 0

No caso de derivar d d x y 2 3 , se assemelha a aplicação da regra da cadeia:

2 3 x - 1 / 3 + 2 3 y - 1 / 3 ⋅ y ' = 0

Então,

2 3   x 1 / 3 + 2 y ' 3   y 1 / 3 = 0

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( - 3 3 , 1 ) , devemos substituir x = - 3 3 e y = 1 na equação encontrada no passo 2:

2 3 ⋅ - 3 3 1 / 3 + 2 y ' 3 ⋅ 1 1 / 3 = 0

Como 3 3 = 3 3 / 2 , então:

- 3 3 1 / 3 = - 3 3 / 2 1 / 3 = - 3 1 2 = - 3

Assim,

- 2 3 3 + 2 y ' 3 = 0 ∴

2 y ' 3 = 2 3 3 ∴

y ' = 1 3

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = 1 / 3 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - 1 = 1 3 ⋅ ( x + 3 3 )   ∴

y - 1 = x 3 + 3 ∴

y = x 3 + 4

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y = x 3 + 4

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