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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 60

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

y = a r c t g   1 - x 1 + x

Passo 1

Boa galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função

y = a r c t g   1 - x 1 + x

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, pois temos uma composição de funções aqui. E também utilizaremos a Regra do Produto, pois temos um produto de funções.

Além disso, deveremos utilizar a regra do quociente para derivarmos

1 - x 1 + x

Então, a regra do quociente é a seguinte:

Dada um quociente de funções u ( x ) / v x , a derivada é dada por:

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

Dessa forma, deveremos utilizar a regra do produto de funções, que ocorre da seguinte maneira

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f ( x )

E a regra da cadeia, utilizada quando temos uma derivação de uma função composta:

Se y = f g x e u = g ( x ) então y = f ( u ) e a derivada de y é:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

A função

g x = 1 - x 1 + x

É a mais interna já a função

f x = x

É a mais externa.

Passo 2

Iremos derivar em relação a x a seguinte função

y = a r c t g   1 - x 1 + x

Seja então,

g ( x ) = 1 - x 1 + x

Então vamos derivar, utilizando a regra da cadeia e a regra do quociente:

Sendo u = 1 - x 1 + x ,

g ( x ) ' = d d u u ∙ d d x 1 - x 1 + x

Iremos utilizar a regra do quociente para derivar o termo destacado:

g x ' = 1 2 1 - x 1 + x - 1 2 ∙ - 1 1 + x - ( 1 - x ) ( 1 ) 1 + x 2

Simplificando termos semelhantes e invertendo a fração por conta da potência negativa:

g x ' = 1 2 1 + x 1 - x 1 2 ∙ ( - 1 - x ) - 1 + x 1 + x 2

Colocando a raiz em ambos os termos da fração, já que ela por completa que está dentro da raiz:

g ( x ) ' = 1 2 ∙ 1 + x 1 2 1 - x 1 2 ∙ - 2 1 + x 2

Simplificando os termos semelhantes no numerador e denominador, onde podemos escrever x a x b = x a - b = 1 x b - a

g ' ( x ) = - 1 1 - x 1 + x 3 2

Passo 3

Agora a gente volta a derivada do y = arctan ⁡ g ( x ) :

A derivada de arctan ⁡ x é tabelada, e é:

arctan' ⁡ x = 1 1 + x 2

Então, aplicando para a nossa situação:

y ' = arctan ⁡ g x ' = 1 1 + g x 2 ∙ g ' ( x )

Substituindo os valores:

g ( x ) = 1 - x 1 + x

g ' ( x ) = - 1 1 - x 1 + x 3 2

Temos:

y ' = 1 1 + 1 - x 1 + x 2 - 1 1 - x 1 + x 3 2

Simplificando os termos:

y ' = - 1 1 + 1 - x 1 + x ∙ 1 1 - x 1 + x 3 2

Multiplicando e dividindo a parte destacada por 1 + x :

y ' = - 1 + x 1 + x + 1 - x ∙ 1 1 - x 1 + x 3 2

Simplificando os termos possíveis:

y ' = - 1 + x 2 ∙ 1 1 - x 1 + x 3 2

Realizando o produto entra as frações:

y ' = - 1 2 1 - x 1 + x 3 2

Sabendo que a b = a b :

y ' = - 1 2 1 - x 2

Resposta

y ' = - 1 2 1 - x 2

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Dada f (x) = x^3 e g (x) = f ( x^2 ) . Encontre (a) f ' ( x^2 ) ; (b) g ' ( x ) .
Suponha que f e g sejam funções, tais que (i) g ' ( x 1 ) e f ' g x 1 existam e (ii) para todo x ≠ x 1 em algum intervalo aberto contendo x 1 , g x - g x 1 ≠ 0 . Então, f ∘ g x - ( f ∘ g ) ( x 1 ) x -
Ache a derivada da função dada.f (x) = (5 - 3 x)^(2 // 3)
Ache a derivada da função dada.g (r) = c o t g sqrt(3 r)
Ache a derivada da função dada.G (t) = sqrt((5 t + 6)/(5 t - 4))