Uma equação da reta tangente à curva no ponto (1,3) é y = x + 2 . Se em qualquer ponto x , y da curva d 2 y d x 2 = 6 x , ache a equação da curva.

Passo 1

Beleza gente, vamos por partes nesse negócio, sem pânico mesmo! Primeiro, temos que a nossa derivada segunda em qualquer ponto da curva é igual a 6 x , isso quer dizer que para qualquer ponto, isso é a derivada da reta tangente. Logo:

d 2 y d x 2 = d ' y d x

d ' y d x = 6 x

y ' = ∫ 6 x d x

y ' = 3 x 2 + C 1

Passo 2

Temos nosso y’, então voltemos para a nossa equação original e posteriormente aplicamos ao ponto desejado da reta tangente.

d y d x = 3 x 2 + C 1

y = ∫ ( 3 x 2 + C 1 ) d x

y = x 3 + x + C 2

Agora que temos nossa equação, apliquemos o ponto para acharmos a constante.

3 = 2 + C 2

C 2 = 1

Passo 3

Agora, basta substituir o nosso ponto na equação.

C 2 = 1

y = x 3 + x + C 2

y = x 3 + x + 1

Resposta

y = x 3 + x + 1

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