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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 48

A eficiência de um operário é dada por uma porcentagem. Por exemplo, se a eficiência do trabalhador num dado intervalo de tempo for de 70%, então ele está trabalhando com 70% de todo o seu potencial. Suponha E% seja a sua eficiência em t horas após começar a trabalhar e que a taxa segundo a qual E está variando é de (35-8t)%, a cada hora. Se a eficiência após 3h de trabalhar for de 81%, ache sua eficiência após trabalhar 4 e 8 horas.

Passo 1

O enunciado nos diz que a taxa de eficiência E em relação ao tempo t. Dessa forma temos que:

d E d t = 35 - 8 t

Integrando ambos os lados em relação ao tempo(t), teremos

∫ d E d t d t =   ∫ ( 35 - 8 t )   d t

Resolvendo a integral

E = 35 t - 4 t 2 + C

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Passo 2

Mas quanto vale essa constante C?O enunciado nos diz que para t = 3   h , temos E = 81 % . Vamos substituir isso na igualdade encontrada.

E = 35 t - 4 t 2 + C

81 = 35   .   3 - 4   .   3 2 + C

81 = 105 - 36 + C

C = 12

Beleza, atualizando a nossa igualdade, agora teremos

E = 35 t - 4 t 2 + 12

Passo 3

Para acharmos a eficiência desse operário após passar 4 horas( t = 4 ) , basta substituir na função

E = 35 t - 4 t 2 + 12

E = 35   .   4 - 4   .   4 2 + 12

E t = 4 = 88 %

Passo 4

Para acharmos a eficiência desse operário após passar 8 horas( t = 8 ) , basta substituir na função

E = 35 t - 4 t 2 + 12

E = 35   .   8 - 4   .   8 2 + 12

E t = 8 = 36 %

Resposta

E t = 4 = 88 %

E t = 8 = 36 %

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