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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 25

Determine a diferencial da função.

z = e - 2 x cos ⁡ 2 π t

Passo 1

Opa, tudo beleza? Questãozinha de diferencial, vamos lá! A questão nos dá uma função z ( x ,   t ) e pede para encontrarmos o diferencial dela, no caso d z !

Mas como encontramos esse diferencial?

Para uma função f ( x , y ) , a diferencial é dada por

d f = ∂ f ∂ x   d x + ∂ f ∂ y   d y

Ou ainda, adaptando para o nosso caso

d z = ∂ z ∂ x   d x + ∂ z ∂ t   d t

Então só precisamos encontrar essas derivadas parciais e substituir na fórmula!

Passo 2

Relembrando: Para encontrar derivadas parciais nós consideramos como constante todas as variáveis que não estão envolvidas na derivação!

Dessa forma, encontrando ∂ z / ∂ x

z ( x ) = e - 2 x cos ⁡ 2 π t

∂ z ∂ x = cos ⁡ 2 π t ∂ e - 2 x ∂ x

Utilizando a regra da cadeia para encontrar essa derivada nós encontramos

∂ z ∂ x = - 2 e - 2 x cos ⁡ 2 π t

E da mesma forma, agora vamos buscar ∂ z / ∂ t

z ( t ) = e - 2 x cos ⁡ 2 π t

∂ z ∂ t = e - 2 x ∂ cos ⁡ 2 π t ∂ x

Onde, ao usar novamente a regra da cadeia, temos

∂ z ∂ x = - 2 π   e - 2 x   s e n   2 π t

Passo 3

Agora que temos todos os termos da equação do diferencial já podemos substituir na fórmula!

d z = ∂ z ∂ x   d x + ∂ z ∂ t   d t

d z = - 2 e - 2 x cos ⁡ 2 π t   d x - 2 π e - 2 x   s e n   2 π t   d t

Ou ainda, quando colocamos - 2 e - 2 x em evidência:

d z = - 2 e - 2 x   cos ⁡ 2 π t   d x + π   s e n   2 π t   d t

Resposta

d z = - 2 e - 2 x   cos ⁡ 2 π t   d x + π   s e n   2 π t   d t

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