Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 41
Use a derivação implícita para determinar e .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos determinar as derivadas parciais e da seguinte função:
Para isso, a gente irá utilizar a derivação implícita... Vamos relembrar do que se trata?
Bom... A derivação implícita é um método para calcular a derivada de uma função quando esta está definida implicitamente por uma equação que envolve duas ou mais variáveis.
Nesse sentido, para realizar a derivação implícita, a gente vai aplicar a derivada nos dois lados da equação até que reste a derivada que a gente está procurando.
Ah... lembre-se que para resolver derivadas parciais é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiramente vamos derivar em função de , fixando o valor de .
Aplicando a derivada nos dois lados da equação, temos:
Aplicando a soma de derivadas do lado esquerdo e colocando a constante para fora no lado direito, temos:
Aplicando a Regra da Potência em , a Regra da Cadeia em e a Regra do Produto em , obtemos:
Isolando , obtemos:
Agora vamos fazer a mesma coisa para .
Passo 3
Agora vamos derivar em função de , fixando o valor de .
Aplicando a derivada nos dois lados da equação, temos:
Aplicando a soma de derivadas do lado esquerdo e colocando a constante para fora no lado direito, temos:
Aplicando a Regra da Potência em , a Regra da Cadeia em e a Regra do Produto em , obtemos:
Isolando , obtemos: