Enunciado

Use a derivação implícita para determinar ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y .

x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos determinar as derivadas parciais ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y da seguinte função:

x 2 + y 2 + z 2 = 3 x y z

Para isso, a gente irá utilizar a derivação implícita... Vamos relembrar do que se trata?

Bom... A derivação implícita é um método para calcular a derivada de uma função quando esta está definida implicitamente por uma equação que envolve duas ou mais variáveis.

Nesse sentido, para realizar a derivação implícita, a gente vai aplicar a derivada nos dois lados da equação até que reste a derivada que a gente está procurando.

Ah... lembre-se que para resolver derivadas parciais é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente vamos derivar z em função de x , fixando o valor de y .

Aplicando a derivada nos dois lados da equação, temos:

∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 = ∂ ∂ x 3 x y z

Aplicando a soma de derivadas do lado esquerdo e colocando a constante para fora no lado direito, temos:

∂ ∂ x x 2 + ∂ ∂ x y 2 + ∂ ∂ x z 2 = 3 y ∂ ∂ x x z

Aplicando a Regra da Potência em ∂ ∂ x x 2 , a Regra da Cadeia em ∂ ∂ x z 2 e a Regra do Produto em ∂ ∂ x x z , obtemos:

2 x + 0 + 2 z ∂ z ∂ x = 3 y ∂ ∂ x x ⋅ z + ∂ ∂ x z ⋅ x ∴

2 x + 2 z ∂ z ∂ x = 3 y z + x ∂ z ∂ x

Isolando ∂ z ∂ x , obtemos:

∂ z ∂ x = 3 y z - 2 x 2 z - 3 x y

Agora vamos fazer a mesma coisa para ∂ z ��� y .

Passo 3

Agora vamos derivar z em função de y , fixando o valor de x .

Aplicando a derivada nos dois lados da equação, temos:

∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 = ∂ ∂ y 3 x y z

Aplicando a soma de derivadas do lado esquerdo e colocando a constante para fora no lado direito, temos:

∂ ∂ y x 2 + ∂ ∂ y y 2 + ∂ ∂ y z 2 = 3 x ∂ ∂ y y z

Aplicando a Regra da Potência em ∂ ∂ y y 2 , a Regra da Cadeia em ∂ ∂ y z 2 e a Regra do Produto em ∂ ∂ y y z , obtemos:

0 + 2 y + 2 z ∂ z ∂ y = 3 x ∂ ∂ y y ⋅ z + ∂ ∂ y z ⋅ y ∴

2 y + 2 z ∂ z ∂ y = 3 x z + y ∂ z ∂ y

Isolando ∂ z ∂ y , obtemos:

∂ z ∂ y = 3 x z - 2 y 2 z - 3 x y

Resposta

∂ z ∂ x = 3 y z - 2 x 2 z - 3 x y

∂ z ∂ y = 3 x z - 2 y 2 z - 3 x y

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