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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 71

  1. A Equação de van der Waals para n mols de um gás é

    2. P + n 2 a V 2 V - n b = n R T

    onde P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura do gás. A constante R é a constante de gás universal e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular.

    Se T permanece constante, use a derivação implícita para encontrar d V d P .

  2. Encontre a taxa de variação de volume em relação à pressão de 1 mol de dióxido de carbono em um volume de V = 10 L e uma pressão de P = 2,5 a t m . Use a = 3,592 L 2 - a t m / m o l 2 e b = 0,04267 L / m o l .

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom.. na letra a) a questão quer que calculemos, através da derivação implícita, a derivada d V d P da seguinte expressão:

P + n 2 a V 2 V - n b = n R T

A qual podemos expandir da seguinte forma:

P V - P n b + n 2 a V - n 3 a b V 2 = n R T

Obs: P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura do gás. A constante R é a constante de gás universal e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular.

Assim, para aplicar a derivação implícita, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada d V d P (ou V ' ).

Na letra b) basta substituirmos os valores na expressão que descobriremos na leta a), certinho?

E aí?? Bora lá resolver?? 😉

Passo 2

Derivando em relação a P :

d d P P V - P n b + n 2 a V - n 3 a b V 2 = d d P ( n R T )

Isso nos dá que:

P V ' + V ⋅ 1 - n b - n 2 a V - 2 ⋅ V ' + 2 n 3 a b V - 3 ⋅ V ' = 0

Assim,

V ' P - n 2 a v - 2 + 2 n 3 a b V - 3 = n b - V

Passo 3

Isolando V ' , ficamos com:

V ' = n b - V P - n 2 a v - 2 + 2 n 3 a b V - 3

ou

d V d P = V 3 ( n b - V ) P V 3 - n 2 a V + 2 n 3 a b

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de variação de volume em relação à pressão de 1 mol de dióxido de carbono em um volume de V = 10 L e uma pressão de P = 2,5 a t m . Use a = 3,592 L 2 - a t m / m o l 2 e b = 0,04267 L / m o l .

Usando a última expressão de d V d P da parte (a), obtemos:

d V d P = 10 L 3 1 m o l 2 ⋅ 0,04267 L m o l - 10 L 2,5 a t m ⋅ 10 L 3 - 1 m o l 2 ⋅ 3,592 L 2 a t m m o l 2 ⋅ 10 L + 2 ⋅ 1 m o l 3 ⋅ 3,592 L a t m m o l 2 ⋅ 0,04267 L ∴

d V d P = 9957,33 L 4 2464,386541 Ç 3 a t m ∴

d V d P ≈ - 4,04 L a t m

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

  1. V ' = n b - V P - n 2 a v - 2 + 2 n 3 a b V - 3
  2. ≈ - 4,04 L a t m
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