Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 55
55 – 56 Mostre que as curvas dadas são ortogonais.
55.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão deu pra gente as curvas:
E pediu pra gente mostra que elas são ortogonais.
Para duas curvas serem ortogonais as retas tangentes à cada uma delas em seu ponto de interseção precisam ter coeficiente reciprocos negativos um do outro.
O seja:
E podemos encontra o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma curva em um determinado ponto calculando o valor de sua derivada naquele ponto.
Assim, podemos fazer:
Para cada uma das curvas e depois verificar se elas são perpendiculares usando a definição vista acima.
Então, vamos nessa.
Passo 2
Primeiro vamos achar os pontos de interceção dessas funções:
Ou seja, temos que e sabemos que vale, então podemos reescrever a primeira equação dessa forma:
Resolvendo essa equação de segundo grau, temos que:
e
Mas como , o só pode ser positivo, então vamos ignorar esse segundo valor de .
Passo 3
Agora vamos atrás dos coeficiente angulares de cada curva fazendo
Para a primeira curva, temos:
Como não está isolada, podemos derivar implicitamente. Ou seja, vamos derivar dos dois lados cada um dos termos em relação a . Assim:
Derivada da soma é a soma das derivadas:
Para derivarmos precisamos utilizar a regra da cadeia, já que é uma função de . Essa regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Nesse caso a função de fora é o quadrado que está no e a função de dentro é o próprio , então podemos escrever essa derivada como sendo:
E nossa equação se torna:
Isolando :
E simplificando:
Passo 4
Agora vamos derivar a segunda equação:
Já fizemos a derivada de , ela fica:
Isolando :
Show.
Passo 5
Agora vamos comparar os dois coeficiente que encontramos.
Perceba que as derivadas não são sempre inversas e com sinal contrário, vamos achar os pontos onde elas são ortogonais:
Invertendo o e cortando os sinais dos dois lados:
Podemos cortar o 2 dos dois lados:
E isolar o :
Então como sabemos que na interceção, vamos descobrir em quais pontos essas curvas são ortogonais:
Ou seja, essas curvas são ortogonais nos pontos: e
Que coincide como os ponto de intercessão que encontramos no passo 2.
Resposta
As curvas são ortogonais, pela demonstração, nos pontos e .