Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 11
Suponha , onde x e y são funções de t. (a) Se , encontre quando . (b) Se , encontre quando .
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui o iremos fazer, eu e você é utilizar dos conceitos de derivação implícita.
O enunciado descreve uma situação onde temos uma função em termos de outra função , ambas dependentes de uma variável , ou seja, Neste caso, a função específica é
O enunciado nos pede para encontrar as taxas de variação de com relação a em dois cenários diferentes:
(a) Se conhecemos a taxa de variação de com relação a em um ponto específico e queremos encontrar a taxa de variação de com relação anesse mesmo ponto.
(b) Se conhecemos a taxa de variação de com relação a em um ponto específico e queremos encontrar a taxa de variação de com relação a nesse mesmo ponto.
Em resumo, o enunciado pede para aplicar a regra da cadeia para diferenciar a função em relação ao tempo considerando que são funções de
Passo 2
Temos que e são funções de , logo suas derivadas são: e .
A derivada de é feita utilizando a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções aqui.
Então, derivando em ambos os lados:
Passo 3
- Sendo e , é:
Passo 4
b) Sendo e , é:
Isolando :
Resposta
a)
b)