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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 11

Suponha y = 2 x + 1 , onde x e y são funções de t. (a) Se d x / d t = 3 , encontre d y / d t quando x = 4 . (b) Se d y / d t = 5 , encontre d x / d t quando x = 12 .

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui o iremos fazer, eu e você é utilizar dos conceitos de derivação implícita.

O enunciado descreve uma situação onde temos uma função y em termos de outra função x , ambas dependentes de uma variável t , ou seja, y = f x t Neste caso, a função específica é y = 2 x + 1

O enunciado nos pede para encontrar as taxas de variação de y com relação a t em dois cenários diferentes:

(a) Se conhecemos a taxa de variação de x com relação a t em um ponto específico e queremos encontrar a taxa de variação de y com relação a   a   nesse mesmo ponto.

(b) Se conhecemos a taxa de variação de y com relação a t em um ponto específico e queremos encontrar a taxa de variação de x com relação a t nesse mesmo ponto.

Em resumo, o enunciado pede para aplicar a regra da cadeia para diferenciar a função y = 2 x + 1 em relação ao tempo t , considerando que x   e   y são funções de t

Passo 2

Temos que x e y são funções de t , logo suas derivadas são: x ' ( t ) = d x d t e y ' t =   d y d t .

A derivada de y = 2 x + 1   é feita utilizando a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções aqui.

Então, derivando em ambos os lados:

y = 2 x + 1

d y d t = d 2 x + 1 d t

d y d t = d 2 x + 1 d x ∙ d x d t

d y d t = d ( 2 x + 1 ) d ( 2 x + 1 ) ∙ d 2 x + 1 d x ∙ d x d t

d y d t = 1 2 2 x + 1 ∙ 2 ∙ d x d t

d y d t = 1 2 x + 1 ∙ d x d t

Passo 3

  1. Sendo x = 4 e d x d t = 3 , d y d t é:

d y d t = 2 ∙ 4 + 1 - 1 2 ∙ 3

= 3 9 = 1

Passo 4

b) Sendo x = 12 e d y d t = 5 , d x d t é:

5 = 2 ∙ 12 + 1 - 1 2 ∙ d x d t

Isolando d x d t :

5 ∙ 2 ∙ 12 + 1 1 2 = d x d t

d x d t = 5 ∙ 25 = 25

Resposta

a) d y d t = 1

b)   d x d t = 25

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