Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 28
O método de redução de ordem (Seção 3.4) também pode ser usado para a equação não homogênea
desde que se conheça uma solução da equação homogênea associada. Seja e mostre que satisfaz a Eq. (i) se for solução de
A Eq. (ii) é uma equação linear de primeira ordem em . Resolvendo essa equação, integrando o resultado e depois multiplicando por , obtemos a solução geral da Eq. (i).
Passo 1
Para resolvermos, vamos assumir que conhecemos uma solução para nossa EDO e partindo daí iremos fazer algumas manipulações até chegar na forma da Eq. (ii), após isso iremos utilizar a redução de ordem para chegar na forma em que é possível resolver a equação da maneira que é descrita ao final do enunciado.
Passo 2
Bom, vamos lá! Como já dito no passo 1, vamos começar fazendo supondo que conhecemos como solução de uma equação homogênea dada pela forma
Fazendo com que e substituindo na equação não homogênea, teremos que
Como supomos que é solução, teremos que
Substituindo isso na EDO e rearranjando, teremos que
Reduzimos a ordem agora da nossa EDO, chamando , teremos que
que será nossa equação final. Vamos analisar o que o enunciado nos diz no final: ele nos fala que se resolvermos essa equação, integrarmos o resultado e multiplicarmos por vamos obter a solução geral da nossa equação inicial do exercício. Ou seja, será solução para a EDO, e como é solução podemos também afirmar que será solução também, provando que desde que conheçamos nossa podemos obter nossa equação geral.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)