Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 15
Se modificarmos as equações de Lotka-Volterra incluindo um termo auto-limitador na equação de presa e depois supusermos uma administração com esforço constante, obteremos as equações
Na ausência de administração, a solução de equilíbrio de interesse é , .
(a) Como varia a solução de equilíbrio se as presas forem administradas, mas os predadores não ?
(b) Como varia a solução de equilíbrio se os predadores forem administrados, mas as presas não ?
(c) Como varia a solução de equilíbrio, se ambos forem administrados ?
Passo 1
O item (a) nos pede para encontrar a solução de equilíbrio para a condição em que apenas as presas serão administradas . Para isso, vamos igualar as derivadas de cada população a zero:
E
Então, a nova condição de equilíbrio será . Como podemos ver, a população de presas se manteve e, a de predadores diminuiu ainda mais.
Passo 2
Vamos agora para o item (b), em que apenas os predadores são administrados . Assim como fizemos no item (a), vamos definir as novas condições de equilíbrio:
E
Então, a nova solução de equilíbrio para a condição de administração com esforço constante dos predadores é . Então, a população de presas será superior à da condição sem administração, e a de predadores se mantém constante.
Passo 3
O item (c) nos pede para avaliar a condição em que as duas populações são administradas . Para esta situação, o ponto de equilíbrio será:
E
Então, se ambas populações são administradas, o novo equilíbrio é . E, podemos ver que a população de presas aumentará e, a de predadores diminui.
Resposta
(a) A população de presas se mantém e a de predadores diminui.
(b) A população de predadores se mantém e a de presas aumenta.
(c) A população de presas aumenta e a de predadores diminui.