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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 6a

As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por

x t = 200 cos ⁡ t e y t = 10 s e n t , 0 ≤ t ≤ 2 π ,

Onde 200 e 10 são medidas expressas em unidades astronômicas ( U . A . ) .

a Calcule a curvatura da órbita em um ponto qualquer da mesma.

b Encontre os pontos de máximo e mínimo para a curvatura.

Sugestão: O máximo (mínimo) da curvatura k é o mínimo (máximo) do raio de curvatura ρ = 1 k .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., o Teorema 1.4 (página 42 ) dessa seção nos dá uma fórmula mais fácil para o cálculo da curvatura k de uma curva C e é dada por:

k t = A t × V t v 3 t

E a função da trajetória do cometa tem a forma:

σ t = x t ,   y t

Tal que:

V t = σ ' t é o vetor velocidade;

v t = V t é a velocidade escalar;

A t = σ ' ' t é o vetor aceleração.

Essas definições se encontram na Seção 1.3 no item Definição 1.5 do livro.

Para resolver o numerador, precisamos nos recordar que o produto vetorial entre dois vetores pode ser resolvido através do determinante. Supondo dois vetores u → e v → , o produto vetorial entre eles é:

u → × v → = i j k v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada da função dada. A trajetória tem a equação:

σ t = 200 cos ⁡ t ,   10 s e n t

Então, derivando-a uma vez, teremos:

σ ' t = - 200 s e n t , 10 cos ⁡ t = V t

E, fazendo isso novamente:

σ ' ' t = - 200 cos ⁡ t ,   - 10 s e n t = A t

Ainda, a velocidade escalar terá o valor:

v t = σ ' t = - 200 s e n t 2 + 10 cos ⁡ t 2

Logo:

v t = 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t

Com esses resultados, conseguimos encontrar a forma da curvatura substituindo-as na sua fórmula dada no Passo anterior. Logo, a curvatura pode ser calculada como:

k t = A t × V t v 3 t

Tal que:

k t = - 200 cos ⁡ t ,   - 10 s e n t × - 200 s e n t , 10 cos ⁡ t 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t

Passo 3

Resolvendo o produto vetorial pelo determinante:

- 200 cos ⁡ t ,   - 10 s e n t × - 200 s e n t , 10 cos ⁡ t = i j k - 200 s e n t 10 cos ⁡ t 0 - 200 cos ⁡ t - 10 s e n t 0

- 200 cos ⁡ t ,   - 10 s e n t × - 200 s e n t , 10 cos ⁡ t = 2000 s e n 2 t k - - 2000 cos 2 ⁡ t k

Então:

- 200 cos ⁡ t ,   - 10 s e n t × - 200 s e n t , 10 cos ⁡ t = 2000 s e n 2 t + 2000 cos 2 ⁡ t k

Lembrando da identidade trigonométrica:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

Podemos reescrever esse resultado como:

- 200 cos ⁡ t ,   - 10 s e n t × - 200 s e n t , 10 cos ⁡ t = 2000 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t k

Logo:

- 200 cos ⁡ t ,   - 10 s e n t × - 200 s e n t , 10 cos ⁡ t = 2000 k

Na notação vetorial:

- 200 cos ⁡ t ,   - 10 s e n t × - 200 s e n t , 10 cos ⁡ t = 0 ,   0 ,   2000

Assim:

k t = 0 ,   0 ,   2000 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 3

Passo 4

Por fim, resolvendo o módulo do denominador e transformando a raiz quadrada em expoente:

k t = 2000 2 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 1 2 3

Portanto, a curvatura da trajetória do cometa será dada por:

k t = 2000 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 3 2

Resposta

a   k t = 2000 4 × 10 4 s e n 2 t + 100 cos 2 ⁡ t 3 2

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