Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.9 - Ex. 3c

Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o círculo de curvatura.

c   y = cos ⁡ x ; P = π 3 , 1 2

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., temos que a curvatura k de uma curva C é a medida da taxa de variação de sua direção e pode ser dada por:

k x = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

Quando a curva é plana e possui a forma cartesiana y = f x .

Considerando ainda um ponto P ∈ C , o raio de curvatura ρ é dado como o inverso da curvatura, ou seja:

ρ x = 1 k x

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada da função dada. Então, derivando-a uma vez, teremos:

y ' = - s e n x

E, fazendo isso novamente:

y ' ' = - cos ⁡ x

Com esses dois resultados, conseguimos encontrar a forma da curvatura substituindo-as na sua fórmula dada no Passo anterior. Logo, a curvatura pode ser calculada como:

k x = - cos ⁡ x 1 + - s e n x 2 3 2

Tal que:

k x = cos ⁡ x 1 + s e n 2 x 3 2

Para sabermos o valor da curvatura no ponto dado precisamos substituir a coordenada x dele nessa última equação, ou seja:

k π 3 = cos ⁡ π 3 1 + s e n 2 π 3 3 2 = 1 2 1 + 3 2 2 3 2

Reescrevendo:

k π 3 = 1 2 1 + 3 4 3 2 = 1 2 7 4 3 2

Portanto:

k π 3 = 1 2 7 2 7 64 = 1 2 7 7 8

Ou ainda:

k π 3 = 4 7 7

Pelos métodos de radiciação, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por 7 para tirá-la do denominador. Com isso:

k π 3 = 4 7 7 7 7 = 4 7 49

Passo 3

Com o valor da curvatura determinado, sabemos qual é o raio de curvatura. Então:

ρ π 3 = 1 k 0 = 1 4 7 49

Logo:

ρ π 3 = 49 4 7

Pela radiciação:

ρ π 3 = 7 7 4

Passo 4

Esboçando a curva (em vermelho) e o círculo de curvatura (em azul), iremos obter:

Resposta

k π 3 = 4 7 49

ρ π 3 = 7 7 4

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