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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 38

Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma y ' ' = f t , y ' , a substituição v = y ' , v ' = y ' ' leva a uma equação de primeira ordem da forma v ' = f ( t , v ) . Se essa equação puder ser resolvida para v , então y pode ser obtida integrando-se d y d t = v . Ao resolver a equação de primeira ordem para v obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar y . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada.

y ' ' + t ⋅ y ' 2 = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando v = y ' e v ' = y ' ' , temos que nossa equação fica como

v ' + t ⋅ v 2 = 0

Notamos que é possível escrever a equação como

d v d t = - t ⋅ v 2

d v v 2 = - t ⋅ d t

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que

- 1 v = - t 2 2 + k 1

v = 2 t 2 + k 2

Utilizando a transformação novamente, temos que

d y d t = y ' = v = 2 t 2 + k 2

Agora temos que analisar a constante. Se k 2 = 0 , teremos que

y = - 2 t + K

Se k 2 < 0 , temos que

y = 2 k 2 ⋅ arctan ⁡ t k 2 + K

Se k 2 > 0 , temos que

y = 1 k 2 ⋅ ln ⁡ t - k 2 t + k 2 + K

Sendo essas nossas soluções para a equação.

Resposta

y = - 2 t + K ,   k 2 = 0

y = 2 k 2 ⋅ arctan ⁡ t k 2 + K ,   k 2 < 0

y = 1 k 2 ⋅ ln ⁡ t - k 2 t + k 2 + K ,   k 2 > 0

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