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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 50

Em cada um dos problemas de 48 a 51, resolva o problema de valor inicial dado usando os métodos dos problemas de 36 a 47.

1 + t 2 ⋅ y ' ' + 2 ⋅ t ⋅ y ' + 3 ⋅ t - 2 = 0 ,     y 1 = 2 ,     y ' 1 = - 1

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando y ' = v y e y ' ' = v ' y , temos que nossa equação fica como:

1 + t 2 ⋅ v ' + 2 ⋅ t ⋅ v + 3 ⋅ t - 2 = 0

d d t 1 + t 2 ⋅ v = - 3 ⋅ t - 2

d 1 + t 2 ⋅ v = - 3 ⋅ t - 2 ⋅ d t

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

1 + t 2 ⋅ v = 3 ⋅ t - 1 + k 1

Aplicando a primeira condição de contorno, temos que:

1 + 1 2 ⋅ - 1 = 3 ⋅ 1 + k 1

- 2 = 3 + k 1

k 1 = - 5

Temos então que nossa equação fica

1 + t 2 ⋅ v = 3 ⋅ t - 1 - 5

v = 3 ⋅ t - 1 - 5 1 + t 2

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v = 3 ⋅ t - 1 - 5 1 + t 2

d y d t = 3 ⋅ t - 1 - 5 1 + t 2

d y = 3 ⋅ t - 1 - 5 1 + t 2 ⋅ d t

y = 3 ⋅ ln ⁡ t - 3 2 ⋅ ln ⁡ 1 + t 2 - 5 ⋅ arctan ⁡ t + k 2

Aplicando a condição de contorno, temos que:

2 = 3 ⋅ ln ⁡ 2 - 3 2 ⋅ ln ⁡ 1 + 1 2 - 5 ⋅ arctan ⁡ 1 + k 2

k 2 = 2 + 3 2 ⋅ ln ⁡ 2 + 5 ⋅ π 4

y = 3 ⋅ ln ⁡ t - 3 2 ⋅ ln ⁡ 1 + t 2 - 5 ⋅ arctan ⁡ t + 2 + 3 2 ⋅ ln ⁡ 2 + 5 ⋅ π 4

Sendo essa nossa solução para a equação.

Resposta

y = 3 ⋅ ln ⁡ t - 3 2 ⋅ ln ⁡ 1 + t 2 - 5 ⋅ arctan ⁡ t + 2 + 3 2 ⋅ ln ⁡ 2 + 5 ⋅ π 4

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