Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 42
Equações sem a Variável Independente. Considere equações de segunda ordem da forma , na qual a variável independente não aparece explicitamente. Se definirmos , obteremos . Como a expressão à direita do sinal de igualdade depende de e , em vez de e , essaequação contém variáveis demais. No entanto, se pensarmos em como a variável independente, pela regra da cadeia temos . Portanto, a equação diferencial original pode ser resolvida, obteremos como função de . Então poderemos obter uma relação entre e resolvendo , que é uma equação separável. Novamente, o resultado final contém duas constantes arbitrárias. Em cada um dos problemas de 42 a 47, use esse método para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para e então encontrar para .
Passo 2
Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando e , temos que nossa equação fica como:
Podemos escrever a equação como:
Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:
Utilizando a transformação novamente, temos que:
Sendo essa nossa solução para a equação.