Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma y ' ' = f t , y ' , a substituição v = y ' , v ' = y ' ' leva a uma equação de primeira ordem da forma v ' = f ( t , v ) . Se essa equação puder ser resolvida para v , então y pode ser obtida integrando-se d y d t = v . Ao resolver a equação de primeira ordem para v obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar y . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada. t 2 ⋅ y ' ' = y ' 2 ,t0

y = 1 2 ⋅ t 2 y = t k 1 - ln ⁡ 1 + k 1 ⋅ t k 1 2 + k 2

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 41

Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma , a substituição , leva a uma equação de primeira ordem da forma . Se essa equação puder ser resolvida para , então pode ser obtida integrando-se . Ao resolver a equação de primeira ordem para obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada.

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para e então encontrar para .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando e , temos que nossa equação fica como:

Podemos escrever a equação como:

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

Utilizando a transformação novamente, temos que:

Se , temos que

Sendo essas nossas soluções para a equação.

Resposta

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