Em cada um dos problemas de 48 a 51, resolva o problema de valor inicial dado usando os métodos dos problemas de 36 a 47.

y' ⋅ y'' = 2, y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando y ' = v y e y ' ' = d v d y d y d t = v ' y ⋅ v y , temos que nossa equação fica como:

v ' ⋅ v 2 = 2

d v d y ⋅ v 2 = 2

v 2 ⋅ d v = 2 ⋅ d y

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

v 3 3 = 2 ⋅ y + k 1

Aplicando a primeira condição de contorno, temos que:

2 3 3 = 2 ⋅ 1 + k 1

8 = 6 + 3 ⋅ k 1

k 1 = 2 3

Temos então que nossa equação fica

v = 6 ⋅ y + 2 1 3

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v y = 6 ⋅ y + 2 1 3

d y d t = 6 ⋅ y + 2 1 3

6 ⋅ y + 2 - 1 3 ⋅ d y = d t

1 4 ⋅ 6 ⋅ y + 2 2 3 = t + k

Aplicando a condição de contorno, temos que:

1 4 ⋅ 6 ⋅ 1 + 2 2 3 = 0 + k

1 4 ⋅ 64 1 3 = k

1 4 ⋅ 8 ⋅ 8 1 3 = k

k = 4 4 = 1

1 4 ⋅ 6 ⋅ y + 2 2 3 = t + 1

Sendo essa nossa solução para a equação.

Resposta

1 4 ⋅ 6 ⋅ y + 2 2 3 = t + 1

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