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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.5 - Ex. 18f

Esboçar a região de integração e calcular as integrais

∫ 1 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 1 x x 2 y 2 z d z d y d x

Passo 1

Lembra que na integral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção e isso é justamente iterar a nossa integral tripla.

Passo 2

Na nossa integral vemos que a ordem de integração é dz, depois dy e por fim dx, logo, a partir dessa informação podemos tirar os nossos limites para cada variável

Portanto,

1 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ x 2

0 ≤ z ≤ 1 x

Isso nos dá a seguinte região T :

Que é a região acima de z   =   0 e abaixo de z   = 1 x , entre x   =   1   e   x = 2   e do lado externo do cilindro com diretriz y   =   x 2

Passo 3

Agora, vamos resolver nossa integral

∫ 1 2 ∫ 0 x 2 ∫ 0 1 x x 2 y 2 z d z d y d x

=   ∫ 1 2 ∫ 0 x 2 y 2 2 d y d x =   ∫ 1 2 x 6 6 d x = x 7 42 ​ 1 → 2 = 127 42

Resposta

127 42

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Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por z = x 2 + y 2 , z = 2
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T y + x 2 z d V Onde T é paralelepípedo retângulo 1 ≤ x ≤ 2 ,0 ≤ y ≤ 1 ,- 3 ≤ z ≤ 5 .
Escrever na forma de uma integral tripla iterada: ∫ ∫ ∫ T f d V Onde T é delimitada por x 2 + y 2 + z 2 = a 2
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T z d V Onde T é o solido limitado por z = 0,y = z , y = 2 - x 2 .
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d x d y d z x + y + z + 1 2 Sendo T é o solido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z= 2 .