Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.5 - Ex. 11

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada

∫ ∫ ∫ T d x d y d z x + y + z + 1 2

Sendo T é o solido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z   = 2 .

Passo 1

Lembra que na inegral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção.

Passo 2

Nossa superfície T é delimitada por:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2 - x

0 ≤ z ≤ 2 - x - y

Passo 3

Agora vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T d x d y d z x + y + z + 1 2

=   ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y d z d y d x x + y + z + 1 2

A gente faz a primeira integral com a seguinte mudança de variáveis

u = x + y + z + 1

d u = d z

z = 0 → u = x + y + 1

z = 2 - x - y → u = 3

∫ 0 2 d x ∫ 0 2 - x d y ∫ x + y + 1 3 d u 1 u 2 = ∫ 0 2 d x ∫ 0 2 - x d y - 1 u x + y + 1 3

∫ 0 2 d x ∫ 0 2 - x d y 1 x + y + 1 - 1 3 = ∫ 0 2 d x ∫ 0 2 - x d y x + y + 1 - 1 3 ∫ 0 2 - x d y

Passo 4

A primeira integral dentro do parênteses sai assim

v = x + y + 1

d v = d y

y = 0 → v = x + 1

y = 2 - x → v = 3

∫ 0 2 - x d y x + y + 1 = ∫ x + 1 3 d v v = ln ⁡ v x + 1 3 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ x + 1

E a segunda

∫ 0 2 - x d y = 2 - x

Então a nossa integral fica

∫ 0 2 d x   ln ⁡ 3 - ln ⁡ x + 1 - 1 3 2 - x

∫ 0 2 d x ln ⁡ 3 - 2 3 + x 3 - ln ⁡ x + 1 = ∫ 0 2 ln ⁡ 3 - 2 3 + x 3 d x - ∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x  

Passo 5

A segunda integral é mais feinha, né? A gente resolve ela por parte:

∫ u v ' = v u - ∫ u ' v

Então:

∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x

u = ln ⁡ x + 1 → u ' = 1 x + 1

v ' = 1 → v = x

∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 1 d x = x ln ⁡ x + 1 0 2 - ∫ 0 2 1 x + 1 x d x

∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x = 2 ln ⁡ 3 - ∫ 0 2 x x + 1 d x

Agora fazendo uma substituição simples:

∫ 0 2 x x + 1 d x

w = x + 1 → d w = d x

x = w - 1

x = 0 → w = 1

x = 2 → w = 3

Então:

∫ 1 3 w - 1 w d w = ∫ 1 3 1 - 1 w d w

∫ 1 3 d w - ∫ 1 3 1 w d w = 3 - 1 - ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 = 2 - ln ⁡ 3

∫ 0 2 x x + 1 d x = 2 - ln ⁡ 3

Daí ficamos com:

∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x = 2 ln ⁡ 3 - 2 + ln ⁡ 3 = 3 ln ⁡ 3 - 2

Passo 6

Voltando lááá pro final do passo 4:

∫ 0 2 ln ⁡ 3 - 2 3 + x 3 d x - ∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x

= x ln ⁡ 3 - 2 3 x + x 2 6 0 2 - 3 ln ⁡ 3 - 2

= 2 ln ⁡ 3 - 4 3 + 4 6 - 3 ln ⁡ 3 + 2

= 2 ln ⁡ 3 - 4 3 + 2 3 - 3 ln ⁡ 3 + 2

= 3 4 - ln ⁡ 3

Show! :D

Resposta

3 4 - ln ⁡ 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral iterada.int_0^1 int_x^(2 x) int_0^y 2 x y z d z d y d x
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano x + y = 4 e o cilindro y2 + 4z2 = 16
Nos Exercícios 37-40, encontre o valor médio de F(x, y, z) sobre aregião determinadaF(x, y, z) = x + y – z sobre o sólido retangular no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados e os plano
Calcule as integrais nos Exercícios 41-44 alterando a ordem de integração de maneira apropriada. ∫ 0 1   ∫ 0 1   ∫ x 2 1   12 x z e - y 2 d y d x d z
Como as substituições em integrais triplas são descritas comotransformações de regiões tridimensionais? Dê um exemplocom cálculo.