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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.5 - Ex. 11

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada

∫ ∫ ∫ T d x d y d z x + y + z + 1 2

Sendo T é o solido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z   = 2 .

Passo 1

Lembra que na inegral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção.

Passo 2

Nossa superfície T é delimitada por:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2 - x

0 ≤ z ≤ 2 - x - y

Passo 3

Agora vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T d x d y d z x + y + z + 1 2

=   ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y d z d y d x x + y + z + 1 2

A gente faz a primeira integral com a seguinte mudança de variáveis

u = x + y + z + 1

d u = d z

z = 0 → u = x + y + 1

z = 2 - x - y → u = 3

∫ 0 2 d x ∫ 0 2 - x d y ∫ x + y + 1 3 d u 1 u 2 = ∫ 0 2 d x ∫ 0 2 - x d y - 1 u x + y + 1 3

∫ 0 2 d x ∫ 0 2 - x d y 1 x + y + 1 - 1 3 = ∫ 0 2 d x ∫ 0 2 - x d y x + y + 1 - 1 3 ∫ 0 2 - x d y

Passo 4

A primeira integral dentro do parênteses sai assim

v = x + y + 1

d v = d y

y = 0 → v = x + 1

y = 2 - x → v = 3

∫ 0 2 - x d y x + y + 1 = ∫ x + 1 3 d v v = ln ⁡ v x + 1 3 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ x + 1

E a segunda

∫ 0 2 - x d y = 2 - x

Então a nossa integral fica

∫ 0 2 d x   ln ⁡ 3 - ln ⁡ x + 1 - 1 3 2 - x

∫ 0 2 d x ln ⁡ 3 - 2 3 + x 3 - ln ⁡ x + 1 = ∫ 0 2 ln ⁡ 3 - 2 3 + x 3 d x - ∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x  

Passo 5

A segunda integral é mais feinha, né? A gente resolve ela por parte:

∫ u v ' = v u - ∫ u ' v

Então:

∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x

u = ln ⁡ x + 1 → u ' = 1 x + 1

v ' = 1 → v = x

∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 1 d x = x ln ⁡ x + 1 0 2 - ∫ 0 2 1 x + 1 x d x

∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x = 2 ln ⁡ 3 - ∫ 0 2 x x + 1 d x

Agora fazendo uma substituição simples:

∫ 0 2 x x + 1 d x

w = x + 1 → d w = d x

x = w - 1

x = 0 → w = 1

x = 2 → w = 3

Então:

∫ 1 3 w - 1 w d w = ∫ 1 3 1 - 1 w d w

∫ 1 3 d w - ∫ 1 3 1 w d w = 3 - 1 - ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 = 2 - ln ⁡ 3

∫ 0 2 x x + 1 d x = 2 - ln ⁡ 3

Daí ficamos com:

∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x = 2 ln ⁡ 3 - 2 + ln ⁡ 3 = 3 ln ⁡ 3 - 2

Passo 6

Voltando lááá pro final do passo 4:

∫ 0 2 ln ⁡ 3 - 2 3 + x 3 d x - ∫ 0 2 ln ⁡ x + 1 d x

= x ln ⁡ 3 - 2 3 x + x 2 6 0 2 - 3 ln ⁡ 3 - 2

= 2 ln ⁡ 3 - 4 3 + 4 6 - 3 ln ⁡ 3 + 2

= 2 ln ⁡ 3 - 4 3 + 2 3 - 3 ln ⁡ 3 + 2

= 3 4 - ln ⁡ 3

Show! :D

Resposta

3 4 - ln ⁡ 3

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