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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 25b

Calcular a massa e as coordenadas do centro de massa dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas, supondo a densidade de massa constante.

b )   x + y = 2 ,     z = 2 + y e os planos coordenados.

Passo 1

Vamos lá, fazendo as interseções, nós encontramos os seguintes intervalos de integração...

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2 - x

0 ≤ z ≤ 2 + y

Beleza, agora a gente vai montar a integral da massa, sendo que a densidade é constante, então chamaremos de K .

M = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 + y K   d z d y d x

Passo 2

Vamos desenvolver isso agora...

M = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x K 2 + y d y d x

M = K ∫ 0 2 2 y + y 2 2 0 2 - x d x

M = K ∫ 0 2 2 2 - x + 2 - x 2 2 d x

M = K ∫ 0 2 6 - 4 x + x 2 2 d x

M = K   6 x - 4 x 2 2 + x 3 6 0 2

M = K 12 - 8 + 8 6

M = 16 K 3

Prontinho! Essa é a massa!

Passo 3

Vamos para o centro de massa agora:

x - = 1 M ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 + y K x   d z d y d x

x - = 1 16 K 3 ∙ K ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x x 2 + y d y d x

= 3 16 ∫ 0 2 2 x y + x y 2 2 0 2 - x d x

= 3 16 ∫ 0 2 2 x 2 - x + x 2 - x 2 2 d x

= 3 16 ∫ 0 2 4 x - 2 x 2 + x 4 - 4 x + x 2 2   d x

= 3 16 6 x 2 2 - 4 x 3 3 + x 4 8 0 2

= 3 16 12 - 32 3 + 16 8

= 3 16 10 3

= 10 16 = 5 8

Vamos para a coordenada y agora...

Passo 4

y - = 1 M ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 + y K y   d z d y d x  

= 1 16 K 3 ∙ K ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x y 2 + y d y d x

= 3 16 ∫ 0 2 2 y 2 2 + y 3 3 0 2 - x d x

= 3 16 ∫ 0 2 2 - x 2 + 2 - x 3 3 d x

= 3 16 ∫ 0 2 4 - 4 x + x 2 + - x 3 + 6 x 2 - 12 x + 8 3   d x

= 3 16 ∫ 0 2 - x 3 3 + 3 x 2 - 8 x + 20 3   d x

= 3 16 - x 4 12 + x 3 - 4 x 2 + 20 3 x 0 2

= 3 16 - 16 12 + 8 - 16 + 40 3

= 3 16 12 3

= 3 4

Passo 5

Falta a coordenada z agora:

z - = 1 M ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 + y K z   d z d y d x

= 1 16 K 3 ∙ K ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x z 2 2 0 2 + y   d y d x

= 3 16 ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 + 2 y + y 2 2   d y d x

= 3 16 ∫ 0 2 2 y + y 2 + y 3 6 0 2 - x d x

= 3 16 ∫ 0 2 2 2 - x + 2 - x 2 + 2 - x 3 6 d x

= 3 16 ∫ 0 2 4 - 2 x + 4 - 4 x + x 2 - x 3 6 + x 2 - 2 x + 8 6 d x

= 3 16 ∫ 0 2 - x 3 6 + 2 x 2 - 8 x + 28 3 d x

= 3 16 - x 4 24 + 2 x 3 3 - 8 x 2 2 + 28 3 x 0 2

= 3 16 - 2 3 + 16 3 - 32 2 + 56 3

= 3 16 22 3

= 11 8

Juntando as três coordenadas encontradas, o centro de massa é:

C m = 5 8 , 3 4 , 11 8

Resposta

M = 16 K 3

C m = 5 8 , 3 4 , 11 8

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Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o cubo dado por 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a ; ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,y = 0 ,z = 0 ,x + y + z = 1 ρ x , y , z = y
Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é limitado pelo cilindro parabolóico z = 1 - y 2 e pelos planos x + z = 1 , x = 0 e z = 0 ; ρ x , y , z = 4
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Utilize coordenadas cilíndricas.Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a( a0 ) , se S tem densidade constante K .