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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 28

Calcular o momento de inércia do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,   x ≥ 0 em relação ao eixo y . A densidade no ponto P ( x , y , z ) é proporcional à distância de P   ao plano y z .

Passo 1

Vamos parametrizar a região utilizando coordenadas esféricas...

x = ρ s e n ϕ c o s θ y = ρ s e n   ϕ s e n   θ z = ρ cos ⁡ ϕ      

Os intervalos aqui vão ser:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ ϕ ≤ π

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Lembrando que temos o Jacobiano que é ρ 2 s e n   ϕ .

Passo 2

A gente precisa também da distância da região ao eixo que queremos, nesse caso o eixo y . A distância de um ponto ao eixo y é x 2 + z 2 , vamos usar x 2 + z 2 , pois na fórmula é distância ao quadrado.

A densidade é proporcional à distância de um ponto P ao plano y z , então podemos dizer que a densidade é k x .

Juntando tudo isso agora, montamos a integral...

I = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 π ∫ 0 1 p 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ ( k ρ s e n ϕ cos ⁡ θ ) ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ

= k   ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 π ∫ 0 1 ρ 5 s e n 4 ϕ cos 3 ⁡ θ + ρ 5 cos 2 ⁡ ϕ s e n 2 ϕ cos ⁡ θ   d ρ d ϕ d θ

= k ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 π ρ 6 6 s e n 4 ϕ cos 3 ⁡ θ + ρ 6 6 cos 2 ⁡ ϕ s e n 2 ϕ cos ⁡ θ 0 1 d ϕ d θ

= 1 6 k ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 π s e n 4 ϕ cos 3 ⁡ θ + cos 2 ⁡ ϕ s e n 2 ϕ cos ⁡ θ d ϕ d θ

Passo 3

Vamos integrar em ϕ e θ agora...

= 1 6 k ∫ - π 2 π 2 - 1 4 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ + 3 8 ϕ - 3 16 s e n   2 ϕ 0 π cos 3 ⁡ θ + ϕ 8 - s e n   4 ϕ 32 0 π cos ⁡ θ   d θ

= 1 6 k ∫ - π 2 π 2 3 8 π cos 3 ⁡ θ + π 8 cos ⁡ θ   d θ

= 1 6 k 3 8 π s e n   θ - s e n 3 θ 3 + π 8 s e n   θ - π 2 π 2

= 1 6 k 3 8 π - 1 8 π + π 8 - - 3 8 π + 1 8 π - π 8

= 1 6 k 3 π 8 + 3 π 8

= k π 8

Prontinho! Esse é o momento de inércia😉

Resposta

k π 8

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