Calcular o momento de inércia do hemisfério em relação ao eixo . A densidade no ponto é proporcional à distância de ao plano .
Passo 1
Vamos parametrizar a região utilizando coordenadas esféricas...
Os intervalos aqui vão ser:
Lembrando que temos o Jacobiano que é .
Passo 2
A gente precisa também da distância da região ao eixo que queremos, nesse caso o eixo . A distância de um ponto ao eixo é , vamos usar , pois na fórmula é distância ao quadrado.
A densidade é proporcional à distância de um ponto ao plano , então podemos dizer que a densidade é .
Juntando tudo isso agora, montamos a integral...
Passo 3
Vamos integrar em e agora...
Prontinho! Esse é o momento de inércia😉