Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 11
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela
Passo 1
Oie, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Dada a curva em parametrização polar, iremos esboçar essa curva e iremos também calcular toda a área que ela delimita. A nossa curva é a seguinte:
Curvas com o formato:
Ou
São da família das lemniscatas. Elas possuem o formato do . As que possuem cosseno estão simetricamente sobre o eixo para e no eixo para . As que possuem seno estão no eixo de para e no eixo de para .
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por:
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular. Os limites de integração iremos analisar posteriormente, mas eles são os intervalos de necessários para varrer toda a figura.
Passo 2
Primeiro vamos esboçar nossa curva, depois a gente calcula a área.
Para esboçar, vamos escolher alguns valores de dentro do intervalo e obter os valores de correspondentes. Assim a gente plota os pontos , depois liga.
Vamos fazer dessa forma manual porque nessa questão ele não pede para usar ferramenta gráfica, ok?
Plotando esses pontos e ligando tudo, vamos ter a curva:
Agora sim vamos calcular a área da curva!
Passo 3
Para varrer toda a figura, deve percorrer de a :
Maaaas, repare que a curva é simétrica e pode ser dividida pelo eixo e pelo eixo em 4 regiões. Como ela cruza os eixos quando e , ou seja, no intervalo
A gente pode calcular a área da curva apenas nesse intervalo e depois multiplicar por .
O é a própria parametrização
Então é só substituir e integrar esse negócio.
Passo 4
Vamos lá:
Retirando a constante de dentro da integral:
Podemos realizar essa integral de forma direta:
Colocando os limites de integração:
Assim,
Resposta
