Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 17
Encontre a área da região dentro de um laco, onde .
Passo 1
Olá, meu nobre estudante. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
A gente tem a curva dada por:
E a gente que calcular a área de um laço dessa figura.
Em coordenadas polares temos que a área de uma região e dada pela integral
onde e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .
Teremos que
onde e uma primitiva de
ou seja, se derivarmos teremos a função dentro da integral.
No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo sera nosso domínio de integração.
Temos que o nosso intervalo será em uma região onde iremos termo o primeiro
E seguinte, antes de completarmos uma volta.
Para a nossa curva:
onde e o menor ângulo entre 0 e onde a função volta ao zero, então temos que nosso intervalo é:
Passo 2
Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:
Precisamos de uma substituição para resolver essa integral, vamos lá:
Usando as relações:
e a fórmula do arco duplo do cosseno:
Trocando por , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:
Passo 3
Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:
Dividindo a integral em duas:
Usando que uma primitiva da função na segunda integral e , temos
Resposta
Logo, a resposta será