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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 4

Encontre a área da regiao que e limitada pelas curvas dadas e esta no setor especificado: r = s e n θ   ,   0 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r é a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explicito qual a função e qual intervalo, então basta somente resolver a integral.

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

Passo 2

Como temos a raiz, ao colocarmos s e n θ   ao quadrado teremos s e n   θ , então precisamos estudar o sinal do seno no domínio de integração. No intervalo 0 , π , o seno é sempre positivo então teremos a seguinte integral:

∫ 0 π 1 2 s e n θ d θ =   ∫ 0 π s e n θ 2 d θ

Temos que uma primitiva da função a ser integrada e - cos ⁡ θ 2 , então a integral resulta em:

∫ 0 π s e n θ 2 d θ =   - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 0 2 = 1 2 + 1 2 = 1

Resposta

Logo, a área possui tamanho 1 .

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