Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.3 - Ex. 34
Esboce a curva com a equação dada.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar a seguinte curva polar:
O que a equação representa?
Nas equações polares o representa a distancia do ponto até a origem e o o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.
Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.
Assim, vamos dar uma analisada no comportamento da função substituindo valores até que completemos uma volta, certinho?
Passo 2
Primeiramente calculamos valores de para alguns valores de :
Vamos calcular para e . (Com esses valores a gente consegue descrever o comportamento da curva como um todo).
Neste ponto você deve ter achado estranho, uma “distância negativa”, mas para construção de gráfico vamos apenas assumir que essa é uma distância no sentido contrário.
Passo 3
Agora vamos fazer para os outro ângulos em sentido anti-horário:
Aqui o tinha saído de e parou em no primeiro quadrante.
Passo 4
Agora para o segundo quadrante, chegando em :
Aqui o tinha saído de e parou em no final do segundo quadrante.
Passo 5
Agora para o terceiro quadrante, chegando em :
Aqui o tinha saído de e parou em no terceiro quadrante.
Passo 6
Agora para o quarto quadrante, chegando em :
Aqui o tinha saído de e parou em no quarto quadrante.
Agora vamos resumir o que encontramos!!
Passo 7
Desta forma o nosso gráfico começa com uma angulação de à uma distancia de “” da origem e até ou essa distância aumenta até , até ela aumenta de novo ate , até ela diminui para novamente e diminui até retornar à ou para “”.
Desenhando no plano fica algo assim:
Podemos também desconsiderar o pontos com então ficaria assim:
Resposta
