Esboce a curva com a equação polar dada, esboçando primeiro o gráfico de r em função de theta nas coordenadas cartesianas.

r^2 = cos(4θ)

Passo 1

Para o gráfico podemos iniciar calculando o valor de r para diferentes θ . Sendo assim,

r = cos ⁡ ( 4 θ )

Para θ = 0

r = c o s ⁡ ( 4.0 ) = cos ⁡ 0 = 1 = 1

Para θ = π 4

r = cos ⁡ 4 . π 4 = cos ⁡ π = - 1 = N Ã O   R E A L

Para θ = π 2

r = c o s ⁡ ( 4 . π 2 ) = cos ⁡ 2 π = 1 = 1

Para θ = 3 π 4

r = cos ⁡ 4 . 3 π 4 = cos ⁡ 3 π = - 1 = N Ã O   R E A L

Para θ = π

r = c o s ⁡ ( 4 . π ) = cos ⁡ 0 = 1 = 1

Para θ = 5 π 4

r = cos ⁡ 4 . 5 π 4 = cos ⁡ π = - 1 = N Ã O   R E A L

Passo 2

Com esses pontos, é possível plotar um gráfico.

Mas antes disso vamos analisar a equação polar.

O argumento do cosseno é 4 θ e isso nos diz que a curva tem a forma de uma flor com   4 pétalas, contida dentro de um círculo com raio 1 centrado na origem. O número de pétalas da curva é determinado pelo número de vezes que a função atravessa o eixo x no intervalo de 0 a 2 π .

A curva é simétrica em relação ao eixo x .

De acordo com os valores de θ , o máximo valor do raio é 1. Sendo assim os pontos mais distantes da origem ocorrem onde r = 1 , ou seja, nos pontos onde c o s ( 4 θ ) = 1 .

Passo 3

Agora temos que analisar a equação polar em coordenadas cartesianas.

Vamos nos divertir substituindo a equação !!!

r = cos ⁡ ( 4 θ )

Sabemos que r 2 = x 2 + y 2 e   x = r   c o s ⁡ ( θ )   e   y = r   s e n ( θ )

cos ⁡ 4 θ = r 2 c o s ² θ + r 2 s e n 2 θ

cos ⁡ 4 θ = x 2 + y 2

A equação acima representa o gráfico em coordendas cartesianas, esta curva não depende dos sinais de x e y . E o ponto de máximo ocorre onde c o s   ( 4 θ ) = 1 , resultando em um círculo com raio 1 centrado na origem, note que não há pontos de mínimo, pois c o s ( 4 θ ) nunca é menor que - 1 .

r = c o s 4 θ ,                     0 ≤ r ≤ 1

r = - c o s 4 θ ,                   - 1 ≤ r ≤ 0

Resposta

A equação polar r ² = c o s ( 4 θ ) descreve uma curva com quatro pétalas, simétrica em relação ao eixo x , contida dentro de um círculo de raio 1 centrado na origem. Em coordenadas cartesianas, a curva assume a forma de uma flor com características semelhantes, simétrica em relação aos eixos x e y , com pontos mais distantes da origem formando um círculo de raio 1 .

Moleza neh? Até a próxima!

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