Encontre o ponto sobre a parábola x = t, y = t^2, -∞ < t < ∞ , o mais próximo do ponto (2, 1/2). (Sugestão: minimize o quadrado da distância como uma função de t.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Temos que ter em mente que qualquer ponto da parábola é da forma t , t 2 , com isso, a distância entre 2 , 1 2 e ( t , t 2 ) é

D = 2 - t 2 + 1 2 - t 2 2

Desenvolvendo os termos

D = 4 + t 2 - 4 t + 1 4 + t 4 - t 2

Com isso, nós temos que

D = t 4 - 4 t + 17 4

A distância será mínima quando a expressão dentro da raiz quadrada for mínima.

Ou seja: temos que encontrar o valor de t para o qual f t = t 4 - 4 t + 17 4

Passo 2

Calculando a derivada, temos que

f ' t = 4 t 3 - 4

Isolando o 4

f ' t = 4 t 3 - 1 = 4 t - 1 t 2 + t + 1

Observe que f ' ( t ) muda de negativo para positivo em t = 1 , portanto mínimos locais devem ocorrer em t = 1 . O ponto correspondente a t = 1   é 1,1 2 = ( 1,1 )

Resposta

( 1,1 )

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