Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 58
Use o gráfico da sequência para decidir quando a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência é convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e, então, prove seu palpite. (Veja na nota de rodapé na página 699 para conselhos de gráficos de sequências.)
Passo 1
Fala, galerinha! Beleza?
Para resolver essa questão vamos precisar começar plotando o gráfico da nossa sequência e, a partir dele, entender se nossa função parece convergir para algum valor em específico.
Depois podemos confirmar se essa convergência realmente ocorre calculando o valor do limite da nossa sequência com e vendo se esse valor condiz com nosso palpite inicial.
Ah, e sobre a nota de rodapé na página 699, ela basicamente traz uma dica de como alguns sistemas de álgebra computacional nos permitem criar sequências e graficá-las diretamente. No entanto, com a maioria das calculadoras gráficas, as sequências podem ser graficadas utilizando equações paramétricas.
No nossa caso, usaremos o software GeoGebra, que já nos trás o gráfico diretamente quando utilizamos a função sequências.
Por fim, para calcular nosso limite, podemos usar o Teorema do Confronto, já que seno é limitado entre dois valores.
Passo 2
Usando o software GeoGebra para plotar os pontos dessa sequência, temos:
Do gráfico, parece que a sequência é convergente! Ela parece convergir para zero, conforme o valor de aumenta. Vamos verificar se isso é verdade!
Passo 3
Bom, sabemos que a função seno varia entre e , beleza? Então, essa sequência é limitada, o que nos dá um forte indício que podemos usar o Teorema do Confronto para resolver o limite.
Relembrando do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):
O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.
Basicamente:
se e , então
Vamos escrever esse intervalo de valores:
Vamos dividir a inequação por , para ficarmos com o termo da nossa sequência:
Vamos aplicar o limite em todos os termos da inequação.
Resolvendo os limites das extremidades, temos:
O que nos deixa com:
De acordo com o teorema do confronto, se os limites dos extremos forem iguais, o limite da sequência que está entre as duas também será igual a eles. Assim,
Portanto, a série, de fato, é convergente e converge para zero.
Resposta
A sequência converge para zero!