1. Vamos lá, para usar as transformações da Seção vamos usar fazer primeiro o gráfico de :



Vamos agora fazer o gráfico de : nesse caso, rotacionamos o gráfico em relação ao eixo , então o que era , agora será ...



Vamos fazer o de : Perceba que virou , portanto fizemos uma translação horizontal de unidades para a direita...



Agora vamos para o último, que é o que a gente quer, o de : Então rotacionamos com relação ao eixo novamente.



Bacana, não é? 😎

Passo 3

2. Usando o gráfico da letra (a) esboçamos o gráfico da derivada.

Perceba que quanto menor o , mais horizontal é o gráfico e portanto, nessa parte a inclinação/derivada é muito próximo de .

Mas depois que passa por a função começa a decrescer cada vez mais até que quando vai chegando próximo de a função decresce muito rapidamente e próximo a esse ponto a inclinação é quase vertical...

A partir daí, relacionando a inclinação da função à derivada, podemos esboçar o gráfico de como



Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 4

3. Vamos lá, para calcular pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá:

Se , temos

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

Agora calma, não se assuste, vamos fazer algumas manipulações e vai da tudo certo. Vamos multiplicar a expresão pelo conjugado do numerador, já que temos raíz alí no meio.

Assim, como , no numerador temos

Simplificando e no numerador, chegamos em

Agora podemos simplificar do numerador e do denominador.

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que tende:

Bora continuar! 😊

Passo 5

Agora vamos ver os domínios das duas funções: O domínio da função nada mais é do que o conjunto de valores que sua variavel pode assumir para que a função exista...

A função tem uma raíz, então a expressão dentro dela deve ser maior ou igual a , assim devemos ter que

então o domínio é.

Já com a derivada da função, , temos o domínio o domínio muito parecido, aqui além de também termos a raíz tendo a mesma limitação de , temos no denominador, o que nos impede do valor assumir , pois isso nos faria ter um denominador igual a .

Portanto o domínio de é

Interessante, não é? 👀

Passo 6

4. Agora, como solicitado no enunciado, vamos plotar a função usando uma calculadora gráfica...

E aí! o que achou? Responde Aí! 😬