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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 58

  1. Se g x = x 2 3 , Mostre que g ' ( 0 ) não existe

  2. Se a ≠ 0 encontre g ' a
  3. Mostre que y = x 2 3 tem uma reta tangente vertical em (0,0)
  4. Ilustre a parte (c) fazendo o gráfico de y = x 2 3

Passo 1

Animados pra mais uma questãozinha? Vamos com calma, vai ser de boa!

Temos uma função:

g x = x 2 3

No item a, queremos mostrar que g ' ( 0 ) , a derivada de g em x = 0 , não existe. Então pra calcular a derivada de g , vamos pegar a definição de derivada:

g ' a = lim x → a ⁡ g x - g a x - a

No item b, vamos usar esse mesmo conceito pra calcular a derivada de g , nos pontos diferentes de zero. Pra isso, vamos fazer uma série de manipulações da equação de forma que o resultado não seja uma indeterminação.

E no item c vamos usar o resultado anterior pra mostrar que a tangente em 0 é vertical.

Passo 2

Pela definição da derivada:

g ' a = lim x → a ⁡ g x - g a x - a

Nossa função é g x = x 2 3

Então precisamos primeiro calcular g a e, pra isso, vamos substituir x por a em g ( x ) :

g a = a 2 3

Substituindo na definição da derivada:

g ' a = lim x → a ⁡ x 2 3 - a 2 3 x - a

Como a = 0 :

g ' 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 3 - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 3 x

Arrumando:

g ' 0 = l i m x → 0 1 x 1 / 3  

Quando a gente aproxima x de zero, a gente vai ficar com um número infinitesimalmente pequeno no denominador, então isso significa que g ' ( x ) cresce indefinitivamente, logo g ' ( 0 ) não existe!

Passo 3

Agora vamos para a letra (b), aqui a gente quer calcular g ' ( a ) com a ≠ 0 !!

Já começamos a calcular g ' ( a ) no passo 2:

g ' a = lim x → a ⁡ x 2 3 - a 2 3 x - a

Mas a gente vai precisar dar uma arrumadinha nisso?! No numerador ambos são elevados a 2 / 3 , então...

g ' a = lim x → a ⁡ x 1 3 2 - a 1 3 2 x - a

Aháaa, já da pra ter uma luz!! Vê se o que a gente tem no numerador não parece com aquele caso geral:

x 2 - y 2 = ( x + y ) ( x - y )

Logo, podemos fazer:

g ' a = lim x → a ⁡ x 1 3 + a 1 3 × ( x 1 3 - a 1 3 ) x - a

Agora a gente vai brincar com o denominador!! Fatorando ( x - a ) , temos:

x - a = x - a 3 3 = x 1 3 - a 1 3 x 2 3 + a 2 3 + x 1 3 a 1 3

Substituindo, temos:

g ' a = lim x → a ⁡ x 1 3 + a 1 3 × x 1 3 - a 1 3 x 1 3 - a 1 3 x 2 3 + a 2 3 + x 1 3 a 1 3

x 1 3 - a 1 3 aparece em cima e em baixo, podemos cortar!

g ' a = lim x → a ⁡ x 1 3 + a 1 3 x 2 3 + a 2 3 + x 1 3 a 1 3

Agora sim, podemos substituir x   por a :

g ' a = a 1 3 + a 1 3 a 2 3 + a 2 3 + a 2 3

Calculando:

g ' ( a ) = 2 a 1 3 3 a 2 3 = 2 3 a 1 3

Por fim:

g ' a = 2 3 a - 1 3

Passo 4

Na letra (c) a gente tem que mostrar que y = x 2 3 tem uma reta tangente vertical em (0,0), então bora lá!

Lá no passo 2, a gente encontrou que:

g ' 0 = l i m x → 0 1 x 1 / 3  

Matematicamente dizemos que esse limite é infinito, porque dividindo 1 por um número infinitesimalmente próximo de zero, dá um número muito muito muito grande (infinito).

Mas a derivada é a inclinação da reta tangente. E ter uma inclinação infinita, nesse caso, significa que a reta está completamente na vertical.

lim x → 0 ⁡ | g ' x | = lim x → 0 ⁡ 2 3 x 1 3 = ∞

Passo 5

Fazendo o gráfico da função, temos

Repara que no ponto de interesse, a tangente é vertical, ou seja, tem inclinação infinita!

Resposta

(b)

g ' a = 2 3 a - 1 3

(c) g tem uma tangente vertical em x   =   0

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45. Dada f (x) = (1)/(3) x^3 + 2 x^2 + 5 x + 5 . Mostre que f^' (x) = 0 para todos os valores de x.
Derive a função dada, aplicando os teoremas desta seção.18. H x = 5 6 x 5
Calcule a derivaday = sqrt(1 + sqrt(x))
Calcule a derivaday = ln (3 x + sqrt(1 + 9 x^2))