Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 36
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:
Os extremos relativos de ;
Os pontos de inflexão do gráfico de ;
Os intervalos em que é crescente
Os intervalos em que é decrescente;
Onde o gráfico é côncavo para cima;
Onde o gráfico é côncavo para baixo;
A inclinação de qualquer tangente de inflexão;
As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem
Passo 1
Vamos começar olharando as assíntotas:
Vamos começar pela assíntota horizontal.
Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,
Com esse intervalo que ele fechou, não vai existir assíntota, porque a função não vai para o infinito.
Então ele não tem assíntota horizontal, nem as oblíquoas.
Passo 2
Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for , a secante é uma fração
Então quando o cosseno for , são as possíveis assíntotas verticiais.
Mas aqui vai a minha dica para vocês, no caso da secante as assíntotas verticais são:
E a secante vai para pela esquerda e pela direita
E
E a secante vai para pela esquerda e pela direita
Mas aqui temos , vamos trocar o por
Então as assíntotas serão:
Multiplicando por
Mas o intervalo vai de até . Vamos ter e
Passo 3
Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .
Fazendo as trocas trigonométricas, vamos achar
O sinal vai depender só daquele seno.
O seno vai ser positivo entre e , e negativo entre e e qualquer soma de . Já que são periódicos.
Então
Mas a função que temos é , então vamos fazer:
Encontrando
Multiplicando por
Lembrando que ele limitou o entre e . Então, vamos pegar e
Com
Saiu do nosso intervalo, então vamos pegar:
Com
Saiu do nosso intervalo, então vamos pegar:
Assim, nossa derivada vai ficar:
A função é crescente se e decrescente se , então:
Passo 4
Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.
Passo 5
Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .
Para derivar essa função vamos usar a regra do produto
Colocando em evidência.
O sinal vai depender só de , porque temos a soma de dois termos ao quadrado dentro do parênteses. A secante tem o mesmo sinal o cosseno.
A secante vai ser positiva entre e , e negativa entre e e qualquer soma de . Já que são periódicos.
Então
Mas a função que temos é , então vamos fazer:
Encontrando
Podemos multiplicar por os intervalos de
Isso com inteiro. O nosso intervalo fica limitado entre e . Já é só a primeira parte, com
Vams ter
Então:
Passo 6
Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.
- Assíntotas verticais: , x
- Assíntotas verticais: , x
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
Resposta
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)