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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 11

Esboce o gráfico.

y = (x^3)/(x^2 + 4)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = x != 1 , - 1 .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Vamos então aplicar:

f^' (x) = ((x^3)/(x^2 + 4))^' = ((x^3)^' (x^2 ∓ 4) - (x^3) (x^2 + 4)^')/([x^2 + 4]^2) = (3 x^2 (x^2 + 4) - (x^3) 2 x)/((x^2 + 4)^2) = (3 x^4 + 12 x^2 - 2 x^4)/((x^2 + 4)^2) = (x^4 + 12 x^2)/((x^2 + 4)^2)

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) :

Temos que f^' (x) > 0 :

]- oo , 0[ e ]0 , + oo[

Temos que:

f é estritamente crescente em ]- oo , 0[ e ]0 , + oo[

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = ((x^4 + 12 x^2)/((x^2 + 4)^2))^' = ((x^4 + 12 x^2)^' ((x^2 + 4)^2) - (x^4 + 12 x^2) ((x^2 + 4)^2)^')/([(x^2 + 4)^2]^2) = ((4 x^3 + 24 x) ((x^2 + 4)^2) - (x^4 + 12 x^2) (2 (x^2 + 4) (2 x)))/([(x^2 + 4)^2]^2) = (- 8 x^3 + 9 6 x)/((x^2 + 4)^3)

f^(' ') (x) > 0 em 0 < x < 2 sqrt(3) e x < - 2 sqrt(3) , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em x > 2 sqrt(3) e - 2 sqrt(3) < x < 0 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em +- 2 sqrt(3) e 0 .

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) (x^3)/(x^2 + 4) = + oo

underset(x -> - oo)(lim) (x^3)/(x^2 + 4) = - oo

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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