Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 49
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
Eaeee, belezinha?? A questão nos dá a seguinte função:
A partir disso o enunciado nos pergunta um bocadinho de coisa.
Primeiro queremos encontrar as assíntotas.
Uma assíntota vertical é aquela no qual a função tende para mais ou menos infinito. Para isso vamos procurar por pontos onde a função não seja definida, onde ela tenha uma descontinuidade.
Uma assíntota horizontal é um valor real que a função tende quando vai para menos ou mais infinito:
Ou
Queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente
E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.
Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.
Ou pontos onde a derivada não exista:
Esses são pontos críticos da nossa função.
Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.
Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.
Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.
E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.
E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.
E por fim, vamos usar esses resultados e tentar traçar um gráfico da nossa função.
Passo 2
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.
Primeiro, vamos achar assíntota horizontal:
é assíntota horizontal.
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Como
Vamos verificar
Essa é uma indeterminação.
Para resolve-la, podemos trabalhar com a função dada.
Agora sim, substituindo o valor do limite temos:
E pelo outro lado temos:
Logo, é assíntota vertical e a função explode para menos infinito nesse ponto.
Passo 3
Vamos resolver o item b) agora.
No item b) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.
Derivando , temos que:
Organizando as contas:
Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos.
Já temos o primeiro, pois torna indefinida.
Agora, vamos encontrar o resto. Para isso, temos que igualar a derivada a zero:
Ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah).
Temos que:
se
se
se
(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).
Pelo teste da primeira derivada, é crescente em e decrescente em e
Passo 5
Respondendo o item c)...
Vamos usar o item anterior, olha só!
Temos que é um máximo local, pois sai de decrescente para crescente.
Não existe mínimo.
Passo 6
Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.
Derivando novamente, temos:
Arrumando as contas:
Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é pois nele a está mal definida.
Vamos achar o resto agora igualando a segunda derivada a zero:
Ou seja
Isolando
Temos dois candidatos e
Passo 7
Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!
se
se
se
(você pode verificar isso pegando números menores que 6 e aplicando na derivada).
Côncava para cima em e para baixo em e
é ponto de inflexão.
Passo 8
Temos as seguintes informações:
é crescente em e decrescente em e Temos que é um máximo local . Não existe mínimo. Côncava para cima em e para baixo em e é ponto de inflexão.
possui assíntota vertical em , onde ela vai para menos infinito por ambos os lados e assíntota horizontal em .
Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!
Resposta
possui assíntota vertical em e assíntota horizontal em .
é crescente em e decrescente em e Temos que é um máximo local . Não existe mínimo. Côncava para cima em e para baixo em e é ponto de inflexão.
