(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.

(b) Determine r’(t) .

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r'(t) para o valor dado de t .

r(t) = 〈 t - 2, t^2 + 1 〉, t = -1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... nos foi dada a seguinte equação vetorial:

r t = t - 2 ,   t 2 + 1

Queremos esboçar o gráfico dessa curva. Para isso, basta pegarmos as equações paramétricas, isolar o parâmetro t de uma e inserir na outra de forma que fique uma função do tipo y x .

Em seguida, devemos determinar a derivada r ' t . Para isso, basta derivarmos as equações paramétricas individualmente em relação a t .

Por fim, iremos esboçar o vetor posição r ( t ) e o vetor tangente r ’ ( t ) para t = - 1 .

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

As equações paramétricas correspondentes à função vetorial dada são:

x = t - 2                   y = t 2 + 1

Isolando-se t na primeira equação obtemos t = x + 2 . Substituindo esse resultado na segunda equação temos:

y = x + 2 2 + 1

y = x 2 + 4 x + 5

Passo 3

A função y = f ( x ) obtida no passo anterior é uma forma mais “familiar” da função vetorial r ( t ) .

É fácil perceber que trata-se de uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com concavidade para cima.

Abaixo está uma representação da curva dessa função.

Passo 4

Determinamos r ' ( t ) derivando as componentes de r ( t ) :

r t = t - 2 ,   t 2 + 1

r ' t = d d t t - 2 , d d t   t 2 + 1

r ' t = 1 ,   2 t

Passo 5

O vetor posição r ( t ) em t = - 1 é:

r - 1 = - 1 - 2 ,   - 1 2 + 1

r - 1 = ( - 3 ,   2 )

Por outro lado, o vetor tangente em t = - 1 , tem origem no ponto ( - 3 ,   2 ) e é dado por:

r ' - 1 = 1 ,   2 - 1

r ' - 1 = ( 1 ,   - 2 )

Com base nos resultados obtidos podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

Resposta

r ' t = 1 ,   2 t

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