1. Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.
  2. Determine r'(t) .
  3. Desenhe o vetor de posição r(t) e o vetor tangente r' (t) para o valor dado de t .

r(t) = 〈 cos(t), sen(t) 〉, t = pi / 4

Passo 1

Bem-vindo a mais uma resolução 10 / 10 do Responde Aí. Hoje a gente vai:

Esboçar o gráfico da curva parametrizada:

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t

Para isso a gente vai passar essa curva para as coordenadas cartesianas, iremos fazer isso utilizando da identidade trigonométrica e sabendo que:

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

Para encontrarmos a derivada basta que derivemos cada termos individualmente. E para desenharmos o vetor, precisamos encontrar cada componente x π 3 e y π 4 colocarmos no gráfico e ligarmos.

Passo 2

  1. As equações paramétricas correspondentes à função vetorial dada são
  2. x = cos ⁡ t y = sen ⁡ t

    Sabemos que sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 . Logo temos:

    x 2 + y 2 = 1

    Essa equação é uma outra forma de apresentação da função vetorial r ( t ) . Essa forma é bem mais conhecida por nós e representada por uma circunferência de raio 1 . Portanto, o gráfico da curva referente a r ( t ) é:

    Passo 3

  3. Determinamos r ' ( t ) derivando as componentes de r ( t ) :

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t

r ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t

Passo 3

O vetor posição r ( t ) em t = π 4 é

r π 4 = cos ⁡ π 4 i ^ + sen �� π 4 j ^

r π 4 = 1 2 i ^ + 1 2 j ^

Por outro lado, o vetor tangente em t = π 4 , tem origem no ponto 1 2 + 1 2 e é dado por

r ' π 4 = - sen ⁡ π 4 i ^ + cos ⁡ π 4 j ^

r ' π 4 = 1 2 i ^ + 1 2 j ^

Com base nos resultados obtidos podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

Resposta

  1. r ' t = r t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t
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