Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 17
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Oie, vamos resolver uma atividade de calculo hoje? Veja bem, aqui a gente precisa utilizar do Teorema para encontrar a curvatura da curva parametrizada:
Então vamos olhar quem é o Teorma :
Em que é a curvatura da nossa curva.
Veja então que precisamos encontrar as duas derivadas da nossa curva, precisaremos realizar o produto vetorial entre as derivadas e ainda precisaremos encontrar o modulo.
Muita coisa, mas vamos fazer um passo de cada vez.
Passo 2
O primeiro passo é obter a derivada da curva dada. Temos:
Realizando a derivada de cada coordenada:
A segunda derivada também precisa ser calculada, então derivamos agora cada coordenada da primeira derivada:
Passo 3
Como a primeira e a segunda derivas já foram calculadas, podemos agora calcular o produto vetorial delas, a gente costuma utilizar o determinante do da seguinte matriz para realizar o produto vetorial:
Substituindo os valores:
Calculando esse determinante a gente encontra:
Passo 4
O módulo do vetor tangente é:
Já o módulo do produto vetorial calculado no Passo 2, é:
Passo 5
Substituindo os resultados, obtidos no passo anterior, dentro da fórmula do Teorema obtemos a curvatura da função vetorial dada:
Substituindo o que encontramos:
Temos então: