Esboce as parábolas e elipses nos Exercícios 37-44. Inclua a diretriz correspondente ao foco na origem. Rotule os vértices com coordenadas polares apropriadas. Rotule também os centros das elipses.

r = 4 / (2 - 2*cos(theta))

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será, através da equação polar dada, identificar se a cônica dada é uma parábola ou elipse, determinar qual a sua diretriz e esboçar um belo gráfico contendo a curva, seus vértices e diretriz(es).

Simbora?

Passo 2

Veja que a equação dada, tem o seguinte formato:

r = k e 1 - e   c o s θ  

Basta dividirmos todos os termos por 2, e reescrevendo da seguinte forma:

r = 4 2 2 2 - 2 2 c o s θ = 2 ∙ 1 1 - 1 c o s θ

Comparando as equações, obtemos:

e = 1 ,   k = 2

Ainda observando a equação, identificamos o sinal negativo no denominador e a função cosseno o que significa que a diretriz é na direção vertical e pode ser descrita por x = - k .

Temos, assim:

Excentricidade: e = 1 o que indica uma parábola.

Diretriz: x = - 2

Veja ainda, que para θ = π , temos:

r = 4 2 - 2 c o s π = 4 2 - 2 ( - 1 ) = 4 2 + 2 = 1

Portanto o vértice é: 1 , π .

Passo 3

Agora, traçando a cônica com auxílio de um software e destacando as informações pedidas, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Excentricidade: e = 1 . Diretriz: x = - 2 . Vértice: 1 , π .

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